پردازش سیگنال در متلب: مقدمات و مثال‌های کدنویسی

پردازش سیگنال، ستون فقرات بسیاری از فناوری‌های مدرن، از ارتباطات بی‌سیم و سیستم‌های صوتی گرفته تا تصویربرداری پزشکی و هوش مصنوعی است. در هسته این فناوری‌ها، توانایی استخراج اطلاعات معنی‌دار از داده‌های خام نهفته است. در این میان، متلب (MATLAB) به دلیل قابلیت‌های منحصر به فرد خود در محاسبات عددی، تحلیل ماتریسی و به ویژه بسته‌های ابزار تخصصی (Toolboxes)، به ابزاری بی‌رقیب برای مهندسان، محققان و دانشجویان در حوزه پردازش سیگنال تبدیل شده است. این مقاله جامع با هدف آشنایی عمیق با مفاهیم بنیادی پردازش سیگنال و نحوه پیاده‌سازی آن‌ها در محیط متلب تدوین شده است. ما نه تنها به تشریح اصول تئوریک می‌پردازیم، بلکه با ارائه مثال‌های کدنویسی گام به گام، به شما کمک می‌کنیم تا این مفاهیم را به صورت عملی درک و اجرا کنید. از تولید سیگنال‌های ساده تا طراحی فیلترهای پیچیده و تحلیل‌های زمان-فرکانس، این راهنما شما را در مسیر تسلط بر پردازش سیگنال در متلب همراهی خواهد کرد.

اهمیت پردازش سیگنال در دنیای مدرن

در جهانی که به سرعت به سمت دیجیتالی شدن حرکت می‌کند، داده‌ها در قالب سیگنال‌ها قلب تپنده نوآوری هستند. هر صدایی که می‌شنوید، هر تصویری که می‌بینید، هر داده‌ای که از سنسورها جمع‌آوری می‌شود، همگی شکل‌هایی از سیگنال هستند. پردازش سیگنال علمی است که به ما امکان می‌دهد این سیگنال‌ها را تحلیل، تغییر شکل، فشرده‌سازی، نویززدایی و تفسیر کنیم تا اطلاعات مفید را از آن‌ها استخراج کرده و تصمیم‌گیری‌های هوشمندانه‌ای انجام دهیم. بدون پردازش سیگنال، فناوری‌هایی نظیر تلفن‌های همراه، اینترنت، رادار، سونوگرافی، MRI، تشخیص گفتار و بینایی ماشین هرگز به وجود نمی‌آمدند. اهمیت این حوزه فراتر از مهندسی برق و کامپیوتر است و در رشته‌هایی مانند علوم پزشکی، ژئوفیزیک، اقتصاد و حتی هنر نیز کاربردهای وسیعی پیدا کرده است. توانایی مهندسان و دانشمندان در دستکاری و تحلیل سیگنال‌ها، عامل کلیدی در توسعه نسل‌های بعدی فناوری و حل چالش‌های پیچیده جهانی خواهد بود.

جایگاه متلب به عنوان ابزار قدرتمند پردازش سیگنال

متلب به عنوان یک محیط محاسباتی و زبان برنامه‌نویسی سطح بالا، به طور خاص برای محاسبات عددی، بصری‌سازی و برنامه‌نویسی طراحی شده است. آنچه متلب را برای پردازش سیگنال به ابزاری بی‌نظیر تبدیل می‌کند، نه تنها نحو (Syntax) شهودی و ماتریسی آن است که به خوبی با ساختار داده‌های سیگنال سازگار است، بلکه اکوسیستم غنی از بسته‌های ابزار (Toolboxes) تخصصی آن است. Signal Processing Toolbox، DSP System Toolbox، Wavelet Toolbox و Audio Toolbox تنها چند نمونه از این بسته‌ها هستند که مجموعه‌ای جامع از توابع و الگوریتم‌های بهینه را برای تقریباً هر کاری در پردازش سیگنال فراهم می‌کنند. این توابع، از فیلترینگ و تحلیل طیفی گرفته تا طراحی سیستم‌های DSP و پردازش سیگنال صوتی و تصویری، نیازهای کاربران را پوشش می‌دهند. سرعت توسعه بالا، امکان نمونه‌سازی سریع (rapid prototyping)، ابزارهای قدرتمند بصری‌سازی (مانند plot، stem، spectrogram) و مستندات بسیار کامل، متلب را به انتخابی ایده‌آل برای آموزش، تحقیق و توسعه در این حوزه تبدیل کرده است. علاوه بر این، متلب امکان ادغام با زبان‌های برنامه‌نویسی دیگر مانند C/C++ و پایتون را فراهم می‌کند که به کاربران اجازه می‌دهد تا کدهای خود را برای کاربردهای بلادرنگ یا پلتفرم‌های دیگر بهینه کنند.

مفاهیم اساسی سیگنال‌ها: انواع و ویژگی‌ها

پیش از ورود به مباحث عملی پردازش سیگنال در متلب، درک عمیق از انواع سیگنال‌ها و ویژگی‌های بنیادین آن‌ها ضروری است. سیگنال‌ها را می‌توان بر اساس معیارهای مختلفی طبقه‌بندی کرد که هر یک از آن‌ها رویکرد متفاوتی را در پردازش طلب می‌کنند.

سیگنال‌های آنالوگ و دیجیتال

سیگنال آنالوگ (Analog Signal): سیگنالی است که هم در دامنه و هم در زمان به صورت پیوسته تغییر می‌کند. به عبارت دیگر، دامنه آن می‌تواند هر مقداری در یک بازه مشخص را بپذیرد و در هر لحظه از زمان تعریف شده است. مثال‌های رایج شامل امواج صوتی، سیگنال‌های رادیویی، و ولتاژ خروجی یک سنسور دما هستند. طبیعت دنیای فیزیکی عمدتاً آنالوگ است.

سیگنال دیجیتال (Digital Signal): سیگنالی است که هم در دامنه و هم در زمان گسسته است. یعنی تنها در لحظات مشخصی از زمان تعریف شده و دامنه آن فقط می‌تواند مقادیر گسسته‌ای (معمولاً باینری) را بپذیرد. سیگنال‌های دیجیتال نتیجه نمونه‌برداری (Sampling) و کوانتیزاسیون (Quantization) از سیگنال‌های آنالوگ هستند و پایه و اساس تمامی سیستم‌های پردازش دیجیتال را تشکیل می‌دهند. کامپیوترها و تمامی دستگاه‌های الکترونیکی مدرن با سیگنال‌های دیجیتال کار می‌کنند.

سیگنال‌های گسسته زمان و پیوسته زمان

این طبقه‌بندی به محور زمان سیگنال مربوط می‌شود:

• سیگنال پیوسته زمان (Continuous-Time Signal): سیگنالی است که در هر لحظه از زمان تعریف شده است. این سیگنال‌ها اغلب با `x(t)` نمایش داده می‌شوند، جایی که `t` یک متغیر پیوسته است. سیگنال‌های آنالوگ از نوع پیوسته زمان هستند.
• سیگنال گسسته زمان (Discrete-Time Signal): سیگنالی است که تنها در لحظات گسسته‌ای از زمان تعریف شده است. این سیگنال‌ها اغلب با `x[n]` نمایش داده می‌شوند، جایی که `n` یک عدد صحیح است. سیگنال‌های دیجیتال از نوع گسسته زمان هستند، اما یک سیگنال گسسته زمان می‌تواند دامنه‌ای پیوسته داشته باشد (مثلاً نتایج نمونه‌برداری از یک سیگنال آنالوگ قبل از کوانتیزاسیون).

سیگنال‌های پریودیک و ناپریودیک

• سیگنال پریودیک (Periodic Signal): سیگنالی است که پس از یک بازه زمانی ثابت (دوره تناوب، T یا N) خود را تکرار می‌کند. یعنی `x(t) = x(t + T)` برای سیگنال‌های پیوسته زمان و `x[n] = x[n + N]` برای سیگنال‌های گسسته زمان. مثال‌های بارز شامل سیگنال‌های سینوسی و مربعی هستند.
• سیگنال ناپریودیک (Non-Periodic Signal) یا گذرا (Aperiodic Signal): سیگنالی است که ویژگی تکرار شوندگی در یک دوره تناوب ثابت را ندارد. اکثر سیگنال‌های دنیای واقعی، مانند گفتار، موسیقی یا نویز، ناپریودیک هستند.

نمونه‌برداری و کوانتیزاسیون: پل ارتباطی آنالوگ و دیجیتال

تبدیل یک سیگنال آنالوگ پیوسته به یک سیگنال دیجیتال گسسته شامل دو مرحله اصلی است:

قضیه نمونه‌برداری نایکویست (Nyquist Sampling Theorem)

قضیه نایکویست یکی از مهم‌ترین اصول در پردازش سیگنال است. این قضیه بیان می‌کند که برای بازسازی دقیق یک سیگنال آنالوگ پیوسته از روی نمونه‌های گسسته آن، نرخ نمونه‌برداری (Sampling Rate, `Fs`) باید حداقل دو برابر بالاترین فرکانس موجود در سیگنال آنالوگ اصلی (`Fmax`) باشد. این فرکانس `2 * Fmax` به عنوان نرخ نایکویست شناخته می‌شود. اگر نرخ نمونه‌برداری کمتر از نرخ نایکویست باشد، پدیده Aliasing رخ می‌دهد که در آن فرکانس‌های بالاتر به اشتباه به عنوان فرکانس‌های پایین‌تر تفسیر می‌شوند و بازسازی صحیح سیگنال غیرممکن خواهد شد. بنابراین، انتخاب نرخ نمونه‌برداری مناسب، حیاتی است.

خطای کوانتیزاسیون (Quantization Error)

پس از نمونه‌برداری، مقادیر دامنه سیگنال نمونه‌برداری شده (که هنوز پیوسته هستند) باید به مقادیر گسسته تبدیل شوند تا با سیستم‌های دیجیتال سازگار شوند. این فرآیند کوانتیزاسیون نام دارد. در کوانتیزاسیون، دامنه سیگنال به مجموعه‌ای از سطوح گسسته تقسیم می‌شود و هر نمونه به نزدیکترین سطح گسسته گرد می‌شود. تفاوت بین مقدار اصلی نمونه و مقدار کوانتیزه شده آن، خطای کوانتیزاسیون نامیده می‌شود. این خطا به عنوان یک نوع نویز به سیگنال اضافه می‌شود و کیفیت سیگنال دیجیتال را تحت تأثیر قرار می‌دهد. تعداد بیت‌های مورد استفاده برای نمایش هر نمونه (عمق بیت) مستقیماً بر تعداد سطوح کوانتیزاسیون و در نتیجه بر میزان خطای کوانتیزاسیون تأثیر می‌گذارد؛ هرچه بیت بیشتر، سطوح بیشتر و خطای کمتر.

عملیات پایه بر روی سیگنال‌ها در متلب

متلب ابزارهای بسیار قدرتمندی برای تولید، دستکاری و نمایش سیگنال‌ها در حوزه زمان فراهم می‌کند. درک این عملیات پایه، اولین گام برای انجام کارهای پیچیده‌تر است.

نمایش سیگنال در حوزه زمان

برای کار با سیگنال‌های گسسته زمان در متلب، ما معمولاً از آرایه‌ها یا بردارهای عددی استفاده می‌کنیم که مقادیر نمونه‌های سیگنال را ذخیره می‌کنند. محور زمان نیز به صورت یک بردار از اعداد صحیح یا مقادیر زمان نمونه‌برداری شده نمایش داده می‌شود. توابع plot و stem ابزارهای اصلی برای بصری‌سازی سیگنال‌ها در حوزه زمان هستند.

مثال کدنویسی: تولید و نمایش سیگنال سینوسی

در این مثال، یک سیگنال سینوسی گسسته زمان با فرکانس مشخص تولید و نمایش می‌دهیم.

% پاک کردن فضای کاری و پنجره دستورات
clear;
clc;

% تعریف پارامترهای سیگنال
Fs = 1000;          % نرخ نمونه‌برداری (Samples per second)
T = 1/Fs;           % دوره نمونه‌برداری (Time per sample)
t = 0:T:1-T;        % بردار زمان از 0 تا 1 ثانیه با گام T
f = 5;              % فرکانس سیگنال سینوسی (Hz)
A = 1;              % دامنه سیگنال

% تولید سیگنال سینوسی
x = A * sin(2*pi*f*t);

% نمایش سیگنال در حوزه زمان با plot
figure;
plot(t, x);
title('سیگنال سینوسی پیوسته زمان');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% برای سیگنال‌های گسسته زمان، معمولاً از stem استفاده می‌شود
% فرض می‌کنیم که سیگنال x یک سیگنال گسسته است
figure;
stem(t, x);
title('سیگنال سینوسی گسسته زمان');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% نمایش چند دوره از سیگنال برای وضوح بیشتر
t_short = 0:T:0.2-T; % نمایش 0.2 ثانیه اول
x_short = A * sin(2*pi*f*t_short);
figure;
stem(t_short, x_short, 'filled'); % 'filled' برای پر کردن دایره‌ها
title('سیگنال سینوسی گسسته زمان (200 میلی‌ثانیه)');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

توضیحات کد:

• Fs نرخ نمونه‌برداری را تعیین می‌کند. هرچه Fs بالاتر باشد، نمونه‌های بیشتری در یک ثانیه گرفته می‌شود و سیگنال گسسته به سیگنال پیوسته نزدیک‌تر خواهد بود.
• t یک بردار زمانی ایجاد می‌کند که شامل نقاطی است که سیگنال در آن‌ها نمونه‌برداری شده است.
• A * sin(2*pi*f*t) فرمول استاندارد تولید یک سیگنال سینوسی است.
• plot(t, x) سیگنال را به صورت یک خط پیوسته (با اتصال نقاط) نمایش می‌دهد که برای سیگنال‌های با نرخ نمونه‌برداری بالا مناسب است.
• stem(t, x) سیگنال را به صورت میله‌هایی در هر نقطه نمونه‌برداری نمایش می‌دهد که برای تأکید بر طبیعت گسسته سیگنال مفید است.

عملیات شیفت زمانی، مقیاس‌بندی و معکوس‌سازی

این‌ها عملیات‌های بنیادی هستند که می‌توانند بر روی سیگنال‌ها اعمال شوند و در بسیاری از الگوریتم‌ها کاربرد دارند.

• شیفت زمانی (Time Shifting): جابجا کردن سیگنال در محور زمان به جلو یا عقب. اگر y[n] = x[n - k] باشد، سیگنال به اندازه k واحد به راست (تأخیر) شیفت داده می‌شود. اگر y[n] = x[n + k] باشد، سیگنال به اندازه k واحد به چپ (تقدم) شیفت داده می‌شود.
• مقیاس‌بندی زمانی (Time Scaling): فشرده یا کشیده کردن سیگنال در محور زمان. اگر y[n] = x[an] باشد (با فرض a صحیح)، سیگنال فشرده (اگر a > 1) یا کشیده (اگر 0 < a < 1) می‌شود. این عملیات در محیط گسسته پیچیده‌تر است زیرا ممکن است به درون‌یابی نیاز داشته باشد.
• معکوس‌سازی زمانی (Time Reversal) یا بازتاب (Folding): بازتاب سیگنال حول محور عمودی (زمان). اگر y[n] = x[-n] باشد.
• مقیاس‌بندی دامنه (Amplitude Scaling): تغییر دامنه سیگنال با ضرب آن در یک ثابت. y[n] = A * x[n].

مثال کدنویسی: اعمال شیفت و مقیاس

% ادامه مثال قبلی
% تعریف سیگنال پایه
Fs = 100;           % نرخ نمونه‌برداری کمتر برای وضوح بیشتر در stem
T = 1/Fs;
t = 0:T:1-T;
x = sin(2*pi*5*t);  % سیگنال سینوسی با فرکانس 5 Hz

figure;
subplot(4,1,1);
stem(t, x, 'filled');
title('سیگنال اصلی x(t)');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% 1. شیفت زمانی
k_shift = 0.1; % شیفت به راست به اندازه 0.1 ثانیه
t_shifted = t + k_shift;
subplot(4,1,2);
stem(t_shifted, x, 'filled'); % دامنه ثابت، زمان تغییر می‌کند
title(sprintf('سیگنال شیفت داده شده x(t - %.1f)', k_shift));
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% 2. مقیاس‌بندی دامنه
A_scale = 0.5; % کاهش دامنه به نصف
y_amplitude_scaled = A_scale * x;
subplot(4,1,3);
stem(t, y_amplitude_scaled, 'filled');
title(sprintf('سیگنال با مقیاس دامنه %.1f * x(t)', A_scale));
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% 3. معکوس‌سازی زمانی (در متلب، برعکس کردن بردار زمان)
% توجه: برای معکوس‌سازی زمانی یک سیگنال گسسته، شما نیاز دارید که محور زمان را نیز برعکس کنید
% یا سیگنال را در یک دامنه زمان متقارن تعریف کنید.
% در اینجا فقط برای مثال و نمایش، x را معکوس می‌کنیم.
x_reversed = fliplr(x); % fliplr بردار را افقی معکوس می‌کند
t_reversed = -fliplr(t); % محور زمان نیز معکوس می‌شود تا نمایش صحیح باشد

subplot(4,1,4);
stem(t_reversed, x_reversed, 'filled');
title('سیگنال معکوس شده x(-t)');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

توضیحات کد:

• برای شیفت زمانی، ما به سادگی بردار زمان را جابجا می‌کنیم.
• برای مقیاس‌بندی دامنه، تمام نمونه‌های سیگنال را در یک ثابت ضرب می‌کنیم.
• معکوس‌سازی زمانی در متلب با تابع fliplr برای آرایه‌ها انجام می‌شود. مهم است که محور زمان نیز متناسب با آن تغییر کند تا بازتاب صحیح صورت گیرد.

تحلیل سیگنال در حوزه فرکانس: تبدیل فوریه و اسپکتروم

تحلیل سیگنال در حوزه فرکانس یکی از قدرتمندترین ابزارهای پردازش سیگنال است که به ما امکان می‌دهد محتوای فرکانسی یک سیگنال را کشف کنیم. این به ما نشان می‌دهد که سیگنال از چه فرکانس‌هایی تشکیل شده و شدت هر فرکانس چقدر است.

مبانی تبدیل فوریه گسسته (DFT) و تبدیل فوریه سریع (FFT)

تبدیل فوریه گسسته (Discrete Fourier Transform - DFT) ابزاری ریاضی است که یک سیگنال گسسته زمان با طول متناهی را به نمایش معادل آن در حوزه فرکانس گسسته تبدیل می‌کند. DFT نشان می‌دهد که چه فرکانس‌های سینوسی در سیگنال اصلی حضور دارند. فرمول DFT برای یک سیگنال x[n] به طول N به صورت زیر است:

X[k] = Σ_{n=0}^{N-1} x[n] * e^(-j * 2 * pi * k * n / N)

که در آن k از 0 تا N-1 تغییر می‌کند. X[k] ضرایب فرکانسی هستند.

محاسبه مستقیم DFT با پیچیدگی محاسباتی O(N²) همراه است که برای سیگنال‌های طولانی بسیار زمان‌بر است. به همین دلیل، الگوریتمی به نام تبدیل فوریه سریع (Fast Fourier Transform - FFT) توسعه داده شد. FFT یک الگوریتم کارآمد برای محاسبه DFT است که پیچیدگی محاسباتی را به O(N log N) کاهش می‌دهد. این پیشرفت انقلابی در پردازش سیگنال دیجیتال ایجاد کرد و امکان تحلیل طیفی بلادرنگ را برای بسیاری از کاربردها فراهم آورد. در متلب، تابع fft پیاده‌سازی FFT را انجام می‌دهد.

تفسیر طیف فرکانسی و مفهوم توان

خروجی تابع fft در متلب یک بردار از اعداد مختلط است. اندازه (Magnitude) این اعداد مختلط مربوط به شدت یا دامنه فرکانس‌های مختلف در سیگنال است، در حالی که فاز (Phase) آن‌ها اطلاعات مربوط به جابجایی فاز مؤلفه‌های فرکانسی را نشان می‌دهد. معمولاً در تحلیل طیفی، ما بیشتر به اندازه طیف علاقه داریم.

طیف توان (Power Spectrum) یا چگالی طیف توان (Power Spectral Density - PSD) نیز مفاهیم مهمی هستند. طیف توان نشان‌دهنده توزیع توان سیگنال بر حسب فرکانس است. در متلب، می‌توان اندازه طیف را مربع کرد و بر تعداد نمونه‌ها تقسیم کرد تا به تخمینی از طیف توان رسید (با در نظر گرفتن نرمال‌سازی‌های لازم).

مثال کدنویسی: محاسبه و نمایش FFT سیگنال

این مثال نشان می‌دهد که چگونه می‌توان FFT یک سیگنال سینوسی را محاسبه و نمایش داد.

% پاک کردن فضای کاری و پنجره دستورات
clear;
clc;

% پارامترهای سیگنال
Fs = 1000;          % نرخ نمونه‌برداری
T = 1/Fs;           % دوره نمونه‌برداری
L = 1000;           % طول سیگنال (تعداد نمونه‌ها)
t = (0:L-1)*T;      % بردار زمان

% تولید سیگنال مرکب (مجموع دو سینوسی با فرکانس‌های مختلف)
f1 = 50;            % فرکانس 1
f2 = 120;           % فرکانس 2
A1 = 0.7;           % دامنه 1
A2 = 1;             % دامنه 2
x = A1*sin(2*pi*f1*t) + A2*sin(2*pi*f2*t);

% اضافه کردن نویز تصادفی
noise = 0.2*randn(size(t));
x_noisy = x + noise;

% نمایش سیگنال در حوزه زمان
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x_noisy);
title('سیگنال مرکب به همراه نویز در حوزه زمان');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% محاسبه FFT
Y = fft(x_noisy);

% محاسبه طیف دامنه تک‌طرفه (Single-sided amplitude spectrum)
% طول بردار FFT برابر با L است.
% ضرایب FFT متقارن هستند. ما فقط به نیمه اول (ضرایب مثبت فرکانسی) نیاز داریم.
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); % برای جبران انرژی نیمه دوم

% ایجاد بردار فرکانس
f = Fs*(0:(L/2))/L;

% نمایش طیف فرکانسی
subplot(2,1,2);
plot(f, P1);
title('طیف دامنه تک‌طرفه سیگنال');
xlabel('فرکانس (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
grid on;

% مثال برای سیگنال بدون نویز (برای مقایسه)
Y_clean = fft(x);
P2_clean = abs(Y_clean/L);
P1_clean = P2_clean(1:L/2+1);
P1_clean(2:end-1) = 2*P1_clean(2:end-1);

figure;
plot(f, P1_clean);
title('طیف دامنه تک‌طرفه سیگنال بدون نویز');
xlabel('فرکانس (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
grid on;

توضیحات کد:

• fft(x_noisy) تبدیل فوریه سریع را محاسبه می‌کند.
• abs(Y/L) اندازه هر مؤلفه فرکانسی را نرمال شده بر طول سیگنال (L) می‌دهد.
• پلاگین P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); برای جبران انرژی که در نیمه دوم طیف مختلط (فرکانس‌های منفی) قرار دارد، انجام می‌شود تا طیف دامنه تک‌طرفه صحیح به دست آید.
• بردار فرکانس f با استفاده از نرخ نمونه‌برداری و طول سیگنال محاسبه می‌شود تا محور افقی نمودار فرکانس را به درستی مقیاس‌بندی کند.
• در نمودار طیف فرکانسی، قله‌ها در فرکانس‌های 50 هرتز و 120 هرتز را مشاهده می‌کنید که فرکانس‌های اصلی سیگنال ما هستند. نویز اضافه شده، یک کف طیفی (noise floor) ایجاد می‌کند.

مشکلات رایج در تحلیل فرکانسی: نشت طیفی (Spectral Leakage) و Windowing

یکی از چالش‌های اصلی در تحلیل طیفی با FFT، پدیده نشت طیفی (Spectral Leakage) است. FFT فرض می‌کند که سیگنال ورودی یک دوره تناوب کامل از یک سیگنال بی‌نهایت پریودیک است. اگر سیگنالی که FFT روی آن اعمال می‌شود، دقیقاً شامل تعداد صحیحی از دوره‌های تناوب در بازه زمانی L نباشد، FFT لبه‌های برش خورده سیگنال را به عنوان ناپیوستگی تفسیر کرده و این ناپیوستگی‌ها باعث می‌شوند انرژی یک فرکانس خاص به فرکانس‌های مجاور "نشت" کند. نتیجه این نشت، پهن شدن قله‌های طیفی و ظهور Side-lobes (لوله‌های جانبی) در طیف است که تفسیر دقیق فرکانس‌های واقعی را دشوار می‌کند.

انواع پنجره‌ها: Rectangular, Hamming, Hanning

برای کاهش اثر نشت طیفی، از توابع پنجره (Window Functions) استفاده می‌شود. یک تابع پنجره، سیگنال را در ابتدا و انتهای خود به آرامی به صفر می‌رساند و از این طریق ناپیوستگی در مرزهای سیگنال را کاهش می‌دهد. این کار باعث کاهش Side-lobes و بهبود وضوح فرکانسی می‌شود، هرچند ممکن است به قیمت پهن‌تر شدن قله اصلی (Main-lobe) تمام شود.

متلب توابع پنجره مختلفی را ارائه می‌دهد، از جمله:

• پنجره مستطیلی (Rectangular Window): این پنجره همان حالتی است که بدون اعمال هیچ پنجره‌ای (یعنی ضرب در یک) سیگنال را تحلیل می‌کنیم. بالاترین نشت طیفی را دارد.
• پنجره همینگ (Hamming Window): یک پنجره پرکاربرد که Side-lobes را به طور قابل توجهی کاهش می‌دهد.
• پنجره هنینگ (Hanning Window): شبیه به همینگ، اما با Side-lobes کمی متفاوت.
• و بسیاری دیگر مانند Blackman، Kaiser و ...

انتخاب پنجره مناسب بستگی به کاربرد دارد. اگر هدف، جداسازی فرکانس‌های نزدیک به هم باشد، پنجره‌ای با Main-lobe باریک‌تر ترجیح داده می‌شود (مانند مستطیلی با نشت بیشتر). اگر هدف، تشخیص فرکانس‌های ضعیف در حضور فرکانس‌های قوی باشد، پنجره‌ای با Side-lobes پایین‌تر (مانند همینگ یا بلکمن) مناسب‌تر است.

% مثال کدنویسی: اعمال پنجره بر سیگنال و مقایسه طیف
% استفاده از همان سیگنال سینوسی 50Hz از مثال قبلی (برای سادگی)
clear;
clc;

Fs = 1000;
L = 1000;
t = (0:L-1)*(1/Fs);
f1 = 50.5; % فرکانسی که دقیقاً بر مضربی از Fs/L منطبق نیست
x = sin(2*pi*f1*t);

% محاسبه FFT بدون پنجره (پنجره مستطیلی)
Y_rect = fft(x);
P2_rect = abs(Y_rect/L);
P1_rect = P2_rect(1:L/2+1);
P1_rect(2:end-1) = 2*P1_rect(2:end-1);
f = Fs*(0:(L/2))/L;

% اعمال پنجره همینگ
ham_window = hamming(L)'; % ایجاد پنجره همینگ با طول L
x_ham = x .* ham_window; % ضرب سیگنال در پنجره

% محاسبه FFT با پنجره همینگ
Y_ham = fft(x_ham);
P2_ham = abs(Y_ham/L);
P1_ham = P2_ham(1:L/2+1);
P1_ham(2:end-1) = 2*P1_ham(2:end-1);

% نمایش طیف‌ها برای مقایسه
figure;
subplot(2,1,1);
plot(f, P1_rect);
title('طیف دامنه با پنجره مستطیلی (Leakage قابل مشاهده)');
xlabel('فرکانس (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
grid on;
xlim([0 150]); % محدود کردن محور x برای وضوح بهتر قله

subplot(2,1,2);
plot(f, P1_ham);
title('طیف دامنه با پنجره همینگ (Leakage کاهش یافته)');
xlabel('فرکانس (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
grid on;
xlim([0 150]); % محدود کردن محور x برای وضوح بهتر قله

توضیحات کد:

• فرکانس f1 = 50.5 عمداً انتخاب شده تا یک عدد صحیح از دوره‌های تناوب در بازه L نباشد و پدیده نشت طیفی به وضوح مشاهده شود.
• hamming(L) یک بردار ستونی از مقادیر پنجره همینگ با طول L تولید می‌کند که با ' به بردار سطری تبدیل و در سیگنال x ضرب می‌شود.
• در نمودار اول (پنجره مستطیلی)، Side-lobes در اطراف قله فرکانسی 50.5 هرتز به وضوح دیده می‌شوند.
• در نمودار دوم (پنجره همینگ)، Side-lobes به شدت کاهش یافته‌اند، هرچند قله اصلی کمی پهن‌تر شده است. این نشان‌دهنده trade-off بین رزولوشن فرکانسی و کاهش نشت طیفی است.

فیلترهای دیجیتال: طراحی و پیاده‌سازی در متلب

فیلترینگ یکی از بنیادی‌ترین عملیات در پردازش سیگنال است که هدف آن تغییر محتوای طیفی سیگنال، معمولاً برای حذف مؤلفه‌های ناخواسته (نویز) یا جداسازی مؤلفه‌های مورد نظر است. فیلترهای دیجیتال، برخلاف فیلترهای آنالوگ، انعطاف‌پذیری و دقت بسیار بالاتری را ارائه می‌دهند و می‌توانند به صورت نرم‌افزاری پیاده‌سازی شوند.

مقدمه‌ای بر فیلترهای FIR و IIR

دو دسته اصلی فیلترهای دیجیتال وجود دارد:

• فیلتر پاسخ ضربه متناهی (Finite Impulse Response - FIR): این فیلترها از پاسخ ضربه با طول متناهی برخوردارند، به این معنی که خروجی آن‌ها به تعداد محدودی از نمونه‌های ورودی فعلی و گذشته بستگی دارد. ساختار آن‌ها به صورت یک جمع وزنی از نمونه‌های ورودی گذشته و حال است.
  y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + ... + bM*x[n-M]
• فیلتر پاسخ ضربه نامتناهی (Infinite Impulse Response - IIR): این فیلترها از پاسخ ضربه با طول نامتناهی برخوردارند و خروجی آن‌ها علاوه بر نمونه‌های ورودی فعلی و گذشته، به نمونه‌های خروجی گذشته نیز بستگی دارد (بازخورد).
  y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + ... + bM*x[n-M] - a1*y[n-1] - ... - aN*y[n-N]

مزایا و معایب فیلترهای FIR

• مزایا:
  • پایداری ذاتی (Inherent Stability): فیلترهای FIR همیشه پایدار هستند.
  • فاز خطی (Linear Phase): می‌توانند فاز خطی دقیق را فراهم کنند، که به معنای تأخیر یکنواخت برای تمام فرکانس‌ها است. این ویژگی برای کاربردهایی مانند پردازش صوت و تصویر که حفظ شکل موج مهم است، حیاتی است.
  • سادگی طراحی: روش‌های طراحی نسبتاً سرراستی دارند.
• معایب:
  • مرتبه بالا: برای دستیابی به مشخصات فرکانسی مشابه فیلترهای IIR، معمولاً به مرتبه (تعداد ضرایب) بسیار بالاتری نیاز دارند.
  • پیچیدگی محاسباتی بیشتر: به دلیل مرتبه بالا، به تعداد محاسبات ضرب و جمع بیشتری نیاز دارند که می‌تواند در کاربردهای بلادرنگ مشکل‌ساز باشد.

مزایا و معایب فیلترهای IIR

• مزایا:
  • مرتبه پایین: برای دستیابی به مشخصات فرکانسی مشابه فیلترهای FIR، به مرتبه بسیار پایین‌تری نیاز دارند.
  • پیچیدگی محاسباتی کمتر: به دلیل مرتبه پایین‌تر، به محاسبات کمتری نیاز دارند که آن‌ها را برای کاربردهای بلادرنگ کارآمدتر می‌کند.
• معایب:
  • پایداری (Potential Instability): پایداری آن‌ها تضمین شده نیست و نیاز به بررسی دارد.
  • فاز غیرخطی (Non-linear Phase): معمولاً فاز غیرخطی دارند که باعث تأخیرهای متفاوت برای فرکانس‌های مختلف می‌شود و می‌تواند شکل موج را تغییر دهد.
  • پیچیدگی طراحی: روش‌های طراحی می‌توانند پیچیده‌تر باشند.

روش‌های طراحی فیلتر FIR: روش پنجره و روش حداقل مربعات

دو روش اصلی برای طراحی فیلترهای FIR وجود دارد:

• روش پنجره (Window Method): این روش ساده‌ترین و رایج‌ترین روش است. ایده اصلی این است که پاسخ ضربه یک فیلتر ایده‌آل (که بی‌نهایت طول دارد) را با ضرب کردن آن در یک تابع پنجره با طول متناهی "برش" دهیم. توابع پنجره (مانند Hamming، Hanning، Blackman) برای کاهش Side-lobes در حوزه فرکانس استفاده می‌شوند. تابع fir1 در متلب برای طراحی فیلتر FIR با استفاده از روش پنجره استفاده می‌شود.
• روش حداقل مربعات (Least Squares Method): این روش (مانند تابع firls) برای به حداقل رساندن خطای مربع بین پاسخ فرکانسی ایده‌آل و پاسخ فرکانسی فیلتر طراحی شده، استفاده می‌کند. این روش معمولاً فیلترهایی با پاسخ فرکانسی نزدیک‌تر به ایده‌آل تولید می‌کند.
• روش ریمز (Parks-McClellan Algorithm - firpm): این روش فیلتری را طراحی می‌کند که دارای خاصیت هم‌نوسانی (equiripple) در باند عبور و باند توقف باشد و پاسخ فرکانسی آن بهینه است به معنای اینکه حداکثر انحراف از پاسخ ایده‌آل را به حداقل می‌رساند.

مثال کدنویسی: طراحی فیلتر FIR با پنجره Hamming

در این مثال، یک فیلتر پایین‌گذر FIR برای حذف فرکانس‌های بالا طراحی و اعمال می‌کنیم.

% پاک کردن فضای کاری و پنجره دستورات
clear;
clc;

% پارامترهای سیگنال
Fs = 1000;          % نرخ نمونه‌برداری
T = 1/Fs;
L = 1000;
t = (0:L-1)*T;

% تولید سیگنال با فرکانس‌های پایین و بالا
f_low = 50;         % فرکانس سیگنال مورد نظر
f_high = 200;       % فرکانس نویز/مؤلفه ناخواسته
x = 0.7*sin(2*pi*f_low*t) + 0.3*sin(2*pi*f_high*t);

% نمایش سیگنال اصلی در حوزه زمان
figure;
subplot(3,1,1);
plot(t, x);
title('سیگنال اصلی (50Hz + 200Hz) در حوزه زمان');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% محاسبه و نمایش طیف سیگنال اصلی
Y = fft(x);
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
f = Fs*(0:(L/2))/L;

subplot(3,1,2);
plot(f, P1);
title('طیف فرکانسی سیگنال اصلی');
xlabel('فرکانس (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
xlim([0 Fs/2]);
grid on;

% --- طراحی فیلتر FIR پایین‌گذر ---
N = 100;            % مرتبه فیلتر (تعداد ضرایب - 1)
Fc = 100;           % فرکانس قطع (Cutoff Frequency)
                    % نرمالیزه شده بر Fs/2 (فرکانس نایکویست)
Wn = Fc / (Fs/2);   % فرکانس نرمالیزه شده
b = fir1(N, Wn, 'low', hamming(N+1)); % طراحی فیلتر پایین‌گذر با پنجره همینگ
                                      % b: ضرایب فیلتر (پاسخ ضربه)

% اعمال فیلتر به سیگنال
y_filtered = filter(b, 1, x); % 1 برای ضرایب IIR که در FIR نداریم

% نمایش سیگنال فیلتر شده در حوزه زمان
subplot(3,1,3);
plot(t, y_filtered);
title('سیگنال فیلتر شده FIR در حوزه زمان');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% محاسبه و نمایش طیف سیگنال فیلتر شده (اختیاری)
Y_filtered = fft(y_filtered);
P2_filtered = abs(Y_filtered/L);
P1_filtered = P2_filtered(1:L/2+1);
P1_filtered(2:end-1) = 2*P1_filtered(2:end-1);

figure;
plot(f, P1_filtered);
title('طیف فرکانسی سیگنال فیلتر شده FIR');
xlabel('فرکانس (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
xlim([0 Fs/2]);
grid on;

توضیحات کد:

• N مرتبه فیلتر است. مرتبه بالاتر به معنای فیلتر دقیق‌تر و تیزتر است، اما پیچیدگی محاسباتی و تأخیر بیشتری دارد.
• Fc فرکانس قطع مورد نظر ما (مثلاً 100 هرتز) است.
• Wn = Fc / (Fs/2) فرکانس قطع را نرمالیزه می‌کند. تمامی توابع طراحی فیلتر در متلب (مانند fir1 و butter) از فرکانس‌های نرمالیزه شده استفاده می‌کنند که نسبت به نصف نرخ نمونه‌برداری (فرکانس نایکویست) بیان می‌شوند.
• fir1(N, Wn, 'low', hamming(N+1)) فیلتر پایین‌گذر FIR با مرتبه N و فرکانس قطع Wn طراحی می‌کند. hamming(N+1) تابع پنجره را مشخص می‌کند.
• filter(b, 1, x) تابع اصلی برای اعمال فیلتر است. b ضرایب فیلتر FIR (numerators) را شامل می‌شود و 1 نشان‌دهنده عدم وجود ضرایب IIR (denominators) است.
• در نمودارهای خروجی، مشاهده خواهید کرد که مؤلفه 200 هرتز تا حد زیادی از سیگنال فیلتر شده حذف شده است.

روش‌های طراحی فیلتر IIR: فیلترهای باترورث، چبی‌شف و بیضوی

فیلترهای IIR برای طراحی با پاسخ‌های فرکانسی مشخص (مانند پایین‌گذر، بالاگذر، باندگذر و باند-حذف) بر اساس روش‌های آنالوگ کلاسیک طراحی می‌شوند و سپس با استفاده از تبدیل بی‌پیوسته (bilinear transformation) به فرم دیجیتال تبدیل می‌شوند. متداول‌ترین انواع فیلترهای IIR عبارتند از:

• فیلتر باترورث (Butterworth Filter): پاسخ فرکانسی تخت‌ترین (flattest) را در باند عبور و باند توقف ارائه می‌دهد، اما شیب انتقال (roll-off) کندتری دارد.
• فیلتر چبی‌شف نوع I (Chebyshev Type I Filter): دارای ریپل (ripple) در باند عبور است اما شیب انتقال تیزتری نسبت به باترورث دارد.
• فیلتر چبی‌شف نوع II (Chebyshev Type II Filter): دارای ریپل در باند توقف است اما باند عبور تخت دارد و شیب انتقال تیزتری نسبت به باترورث دارد.
• فیلتر بیضوی یا کائور (Elliptic/Cauer Filter): دارای ریپل در هر دو باند عبور و توقف است و تیزترین شیب انتقال را در بین فیلترهای با مرتبه معین ارائه می‌دهد.

در متلب، توابعی مانند butter، cheby1، cheby2 و ellip برای طراحی این فیلترها استفاده می‌شوند.

مثال کدنویسی: طراحی فیلتر IIR باترورث پایین‌گذر

در این مثال، همان سیگنال قبلی را با یک فیلتر پایین‌گذر IIR باترورث فیلتر می‌کنیم.

% پاک کردن فضای کاری و پنجره دستورات
clear;
clc;

% پارامترهای سیگنال (همانند مثال FIR)
Fs = 1000;
T = 1/Fs;
L = 1000;
t = (0:L-1)*T;
f_low = 50;
f_high = 200;
x = 0.7*sin(2*pi*f_low*t) + 0.3*sin(2*pi*f_high*t);

% --- طراحی فیلتر IIR باترورث پایین‌گذر ---
N_butter = 6;       % مرتبه فیلتر باترورث (معمولاً کمتر از FIR است)
Fc_butter = 100;    % فرکانس قطع
Wn_butter = Fc_butter / (Fs/2); % فرکانس نرمالیزه شده

[b_butter, a_butter] = butter(N_butter, Wn_butter, 'low');
% b_butter: ضرایب numerator (FIR part)
% a_butter: ضرایب denominator (IIR part)

% اعمال فیلتر به سیگنال
y_filtered_butter = filter(b_butter, a_butter, x);

% نمایش سیگنال فیلتر شده IIR در حوزه زمان
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x);
title('سیگنال اصلی (50Hz + 200Hz) در حوزه زمان');
xlabel('زمان (ثانیه');
ylabel('دامنه');
grid on;

subplot(2,1,2);
plot(t, y_filtered_butter);
title('سیگنال فیلتر شده IIR باترورث در حوزه زمان');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% محاسبه و نمایش طیف سیگنال فیلتر شده (اختیاری)
Y_filtered_butter = fft(y_filtered_butter);
P2_filtered_butter = abs(Y_filtered_butter/L);
P1_filtered_butter = P2_filtered_butter(1:L/2+1);
P1_filtered_butter(2:end-1) = 2*P1_filtered_butter(2:end-1);
f = Fs*(0:(L/2))/L; % بردار فرکانس

figure;
plot(f, P1_filtered_butter);
title('طیف فرکانسی سیگنال فیلتر شده IIR باترورث');
xlabel('فرکانس (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
xlim([0 Fs/2]);
grid on;

% برای بررسی پاسخ فرکانسی فیلتر طراحی شده
figure;
freqz(b_butter, a_butter, L/2, Fs); % L/2 نقاط فرکانسی، Fs نرخ نمونه‌برداری
title('پاسخ فرکانسی فیلتر باترورث');

توضیحات کد:

• butter(N_butter, Wn_butter, 'low') فیلتر باترورث پایین‌گذر با مرتبه N_butter و فرکانس قطع نرمالیزه Wn_butter را طراحی می‌کند. این تابع دو مجموعه ضریب b (ضرایب بخش FIR) و a (ضرایب بخش IIR) را برمی‌گرداند.
• filter(b_butter, a_butter, x) سیگنال را با استفاده از این ضرایب فیلتر می‌کند.
• تابع freqz(b, a, num_points, Fs) برای رسم پاسخ فرکانسی (دامنه و فاز) فیلتر طراحی شده مفید است و به شما امکان می‌دهد عملکرد فیلتر خود را تأیید کنید.
• خواهید دید که با مرتبه 6 در فیلتر IIR، به نتیجه‌ای مشابه یا حتی بهتر از فیلتر FIR با مرتبه 100 رسیده‌ایم که نشان‌دهنده کارایی بالای فیلترهای IIR است.

کاربرد فیلترها: حذف نویز و استخراج اطلاعات

فیلترها ابزاری اساسی برای انجام وظایف مختلف در پردازش سیگنال هستند:

• حذف نویز: رایج‌ترین کاربرد فیلترها، حذف مؤلفه‌های ناخواسته (نویز) از سیگنال است. برای مثال، یک فیلتر پایین‌گذر می‌تواند نویز فرکانس بالا را از یک سیگنال صوتی حذف کند، یا یک فیلتر باند-حذف (Notch filter) می‌تواند نویز خطوط برق (مانند 50 یا 60 هرتز) را از سیگنال‌های پزشکی حذف کند.
• استخراج اطلاعات: فیلترها می‌توانند برای جداسازی و استخراج فرکانس‌های خاصی که حاوی اطلاعات مهم هستند، استفاده شوند. برای مثال، در مخابرات، فیلترهای باندگذر برای جداسازی کانال‌های فرکانسی مختلف به کار می‌روند.
• بازسازی سیگنال (Reconstruction): پس از نمونه‌برداری، فیلترهای بازسازی (مانند فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل) برای حذف فرکانس‌های تکراری (Image frequencies) و بازیابی سیگنال آنالوگ اصلی استفاده می‌شوند.

تحلیل زمان-فرکانس: نگاهی گذرا به STFT و Wavelet

تاکنون، ما سیگنال‌ها را یا در حوزه زمان (با plot و stem) یا در حوزه فرکانس (با FFT) تحلیل کرده‌ایم. تحلیل FFT فرض می‌کند که سیگنال در طول بازه زمانی مورد بررسی، ایستا (stationary) است؛ یعنی ویژگی‌های فرکانسی آن با زمان تغییر نمی‌کنند. اما بسیاری از سیگنال‌های دنیای واقعی، مانند گفتار، موسیقی، یا سیگنال‌های زیستی، ناایستا (non-stationary) هستند و محتوای فرکانسی آن‌ها به مرور زمان تغییر می‌کند. در این موارد، FFT به تنهایی کافی نیست و به ابزارهای تحلیل زمان-فرکانس نیاز داریم.

محدودیت‌های تبدیل فوریه در سیگنال‌های ناایستا

همانطور که ذکر شد، FFT یک دیدگاه "کلی" از فرکانس‌های موجود در کل سیگنال را ارائه می‌دهد. اگر یک سیگنال در ابتدای خود دارای فرکانس A و در انتهای خود دارای فرکانس B باشد، FFT فقط هر دو فرکانس A و B را نشان می‌دهد، اما به ما نمی‌گوید که کدام فرکانس در کدام زمان رخ داده است. این فقدان اطلاعات زمانی، محدودیت اصلی FFT برای تحلیل سیگنال‌های ناایستا است.

تبدیل فوریه زمان کوتاه (Short-Time Fourier Transform - STFT)

STFT تلاشی برای غلبه بر این محدودیت است. ایده اصلی این است که سیگنال را به قطعات (frames) کوتاه و هم‌پوشان (overlapping) تقسیم کنیم و سپس FFT را بر روی هر یک از این قطعات (پس از اعمال یک تابع پنجره) اعمال کنیم. با انجام این کار، می‌توانیم ببینیم که محتوای فرکانسی سیگنال چگونه در طول زمان تغییر می‌کند. خروجی STFT معمولاً به صورت یک طیف‌نگار (Spectrogram) نمایش داده می‌شود، که یک تصویر دو بعدی است: محور افقی زمان، محور عمودی فرکانس، و شدت رنگ یا روشنایی هر نقطه نشان‌دهنده دامنه یا توان آن فرکانس در آن لحظه از زمان است.

مثال کدنویسی: نمایش طیف‌نگار (Spectrogram)

متلب تابع spectrogram را برای محاسبه و نمایش طیف‌نگار ارائه می‌دهد.

% پاک کردن فضای کاری و پنجره دستورات
clear;
clc;

% پارامترهای سیگنال
Fs = 1000;
T = 1/Fs;
L = 2000; % طول سیگنال بیشتر برای دیدن تغییرات
t = (0:L-1)*T;

% تولید سیگنال chirp (فرکانس با زمان تغییر می‌کند)
f_start = 50;
f_end = 200;
x_chirp = chirp(t, f_start, t(end), f_end, 'linear');
% x_chirp = sin(2*pi * (f_start*t + (f_end-f_start)/(2*t(end))*t.^2)); % فرمول جایگزین برای chirp خطی

% نمایش سیگنال chirp در حوزه زمان
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x_chirp);
title('سیگنال Chirp در حوزه زمان (50Hz به 200Hz)');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('دامنه');
grid on;

% نمایش طیف‌نگار سیگنال chirp
% window: طول پنجره (مثلاً 256 نمونه)
% noverlap: تعداد نمونه‌های هم‌پوشان (مثلاً 250 نمونه)
% nfft: تعداد نقاط FFT (مثلاً 512 نقطه)
% Fs: نرخ نمونه‌برداری
subplot(2,1,2);
spectrogram(x_chirp, 256, 250, 512, Fs, 'yaxis');
title('طیف‌نگار سیگنال Chirp');
xlabel('زمان (ثانیه)');
ylabel('فرکانس (Hz)');
colorbar; % نمایش نوار رنگی برای شدت

توضیحات کد:

• chirp(t, f_start, t(end), f_end, 'linear') یک سیگنال با فرکانس متغیر خطی از f_start تا f_end در بازه زمانی t تولید می‌کند.
• spectrogram(x_chirp, window, noverlap, nfft, Fs, 'yaxis') طیف‌نگار سیگنال را محاسبه و نمایش می‌دهد.
  • window: طول پنجره مورد استفاده برای هر قطعه (مثلاً 256 نمونه).
  • noverlap: تعداد نمونه‌های هم‌پوشانی بین پنجره‌های متوالی. هم‌پوشانی باعث هموارتر شدن طیف‌نگار می‌شود.
  • nfft: تعداد نقاط FFT برای هر قطعه.
  • Fs: نرخ نمونه‌برداری.
  • 'yaxis': برای نمایش فرکانس در محور y.
• در طیف‌نگار، خطی مورب از پایین به بالا را مشاهده خواهید کرد که نشان‌دهنده افزایش فرکانس سیگنال Chirp در طول زمان است.

تبدیل ویولت (Wavelet Transform): رویکرد چندرزولوشنی

در حالی که STFT رزولوشن فرکانسی ثابتی در تمام زمان‌ها و رزولوشن زمانی ثابتی در تمام فرکانس‌ها دارد (توسط طول پنجره مشخص می‌شود)، تبدیل ویولت (Wavelet Transform - WT) یک رویکرد متفاوت و قدرتمندتر برای تحلیل زمان-فرکانس ارائه می‌دهد. ویولت‌ها توابع موجکی (wavelets) با طول محدود و دامنه صفر هستند که می‌توانند به صورت مقیاس‌پذیر (scaled) و جابجا شده (translated) برای تحلیل سیگنال استفاده شوند.
مزیت اصلی ویولت‌ها این است که آن‌ها رزولوشن چندگانه (multi-resolution) دارند: رزولوشن زمانی بالا برای فرکانس‌های بالا و رزولوشن فرکانسی بالا برای فرکانس‌های پایین. این به این معنی است که ویولت می‌تواند جزئیات سریع و کوتاه را به خوبی تشخیص دهد و همچنین تغییرات آهسته و طولانی‌مدت را ردیابی کند.
در متلب، Wavelet Toolbox توابع گسترده‌ای برای تبدیل ویولت پیوسته (CWT)، تبدیل ویولت گسسته (DWT) و کاربردهای مختلف آن فراهم می‌کند.

مفاهیم اولیه ویولت پیوسته و گسسته

• تبدیل ویولت پیوسته (Continuous Wavelet Transform - CWT): برای تحلیل جامع ویژگی‌های زمان-فرکانس سیگنال استفاده می‌شود. خروجی آن یک نقشه مقیاس-زمان (scale-time map) است که در آن مقیاس به فرکانس مربوط می‌شود. تابع cwt در متلب برای این منظور استفاده می‌شود.
• تبدیل ویولت گسسته (Discrete Wavelet Transform - DWT): اغلب برای فشرده‌سازی، نویززدایی و استخراج ویژگی استفاده می‌شود. DWT سیگنال را به مؤلفه‌های مختلف فرکانسی (تقریب و جزئیات) در سطوح مختلف تفکیک می‌کند. تابع dwt یا wavedec در متلب برای DWT استفاده می‌شوند.

پردازش سیگنال مدرن به طور فزاینده‌ای از ترکیب این ابزارها برای تحلیل سیگنال‌های پیچیده و ناایستا در کاربردهای مختلف بهره می‌برد.

کاربردهای پیشرفته و مثال‌های عملی پردازش سیگنال در متلب

پردازش سیگنال در متلب فراتر از تحلیل‌های پایه است و در طیف وسیعی از کاربردهای تخصصی و پیشرفته مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این بخش، به برخی از این کاربردها و نحوه ادغام پردازش سیگنال با حوزه‌های دیگر می‌پردازیم.

پردازش سیگنال صوتی: حذف نویز، تشخیص گفتار

پردازش سیگنال صوتی (Audio Signal Processing) یکی از غنی‌ترین و پرکاربردترین حوزه‌ها برای متلب است. از میکروفون‌ها تا اسپیکرها، هر مرحله شامل پردازش سیگنال است. متلب با Audio Toolbox ابزارهای قدرتمندی برای:

• حذف نویز (Noise Reduction): استفاده از فیلترهای تطبیقی (Adaptive Filters) مانند LMS (Least Mean Squares) برای حذف نویز پس‌زمینه از سیگنال‌های گفتاری یا موسیقی.
• بهبود کیفیت گفتار (Speech Enhancement): الگوریتم‌های پیشرفته برای کاهش پژواک (Echo Cancellation) و نویز.
• تشخیص گفتار (Speech Recognition): استخراج ویژگی‌های صوتی مانند MFCC (Mel-Frequency Cepstral Coefficients) و استفاده از آن‌ها برای آموزش مدل‌های یادگیری ماشین جهت تشخیص کلمات یا فرمان‌ها.
• سنتز گفتار (Speech Synthesis): تولید گفتار مصنوعی.

مثال: حذف نویز از یک فایل صوتی با استفاده از فیلتر پایین‌گذر یا تطبیقی.

% مثال کدنویسی (مفهومی): حذف نویز از فایل صوتی
% توجه: برای اجرای واقعی، نیاز به یک فایل صوتی (مثلاً 'handel.mat' یا فایل .wav) دارید.

% % فرض کنید سیگنال صوتی x با نرخ نمونه‌برداری Fs دارید
% % [x, Fs] = audioread('your_audio_file.wav'); 

% % برای مثال، از یک سیگنال تستی استفاده می‌کنیم
% Fs = 8000; % نرخ نمونه‌برداری 8 kHz
% t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
% clean_signal = sin(2*pi*500*t) + sin(2*pi*1200*t); % سیگنال اصلی
% noise_signal = 0.5*randn(size(t)); % نویز سفید
% noisy_signal = clean_signal + noise_signal;
% 
% % پخش سیگنال نویزدار (اختیاری)
% % sound(noisy_signal, Fs); 
% % pause(length(noisy_signal)/Fs + 0.5);

% % طراحی فیلتر پایین‌گذر برای حذف نویز فرکانس بالا (اگر نویز در فرکانس‌های بالا باشد)
% N_lp = 50; % مرتبه فیلتر
% Fc_lp = 1500; % فرکانس قطع 1.5 kHz
% Wn_lp = Fc_lp / (Fs/2);
% b_lp = fir1(N_lp, Wn_lp, 'low');
% 
% filtered_audio = filter(b_lp, 1, noisy_signal);
% 
% % پخش سیگنال فیلتر شده (اختیاری)
% % sound(filtered_audio, Fs);

% % مثال پیشرفته‌تر: حذف نویز با استفاده از نویز جداگانه (adaptive filtering)
% % اگر بتوانیم نویز را جداگانه دریافت کنیم (مثلاً از یک میکروفون دوم)
% % [clean_signal, noise_estimate] = separate_noise_and_signal(noisy_signal); % تابع فرضی

% % یا با استفاده از Wiener filter که در Audio Toolbox موجود است (یا پیاده‌سازی دستی)
% % filtered_audio_wiener = wiener_filter_function(noisy_signal); % تابع فرضی
% 
% % در اینجا فقط نمایش بصری داریم
% figure;
% subplot(3,1,1);
% plot(t, clean_signal);
% title('سیگنال صوتی تمیز');
% subplot(3,1,2);
% plot(t, noisy_signal);
% title('سیگنال صوتی نویزدار');
% subplot(3,1,3);
% plot(t, filtered_audio);
% title('سیگنال صوتی فیلتر شده با FIR پایین‌گذر');
% 
% % Note: For actual audio processing, use audioread/audiowrite and real audio files.

پردازش سیگنال‌های پزشکی: ECG, EEG

سیگنال‌های زیستی مانند الکتروکاردیوگرام (ECG) برای فعالیت قلب و الکتروانسفالوگرام (EEG) برای فعالیت مغز، حاوی اطلاعات حیاتی در مورد سلامت انسان هستند. با این حال، این سیگنال‌ها اغلب با نویزهای مختلف (مانند نویز خطوط برق 50/60 هرتز، حرکت عضلانی و نویز تنفس) آلوده می‌شوند. پردازش سیگنال در متلب نقش حیاتی در:

• نویززدایی: حذف نویز با استفاده از فیلترهای باند-حذف (Notch) یا فیلترهای تطبیقی.
• استخراج ویژگی (Feature Extraction): شناسایی الگوها و نقاط عطف خاص (مانند QRS complex در ECG) برای تشخیص بیماری‌ها.
• تحلیل زمان-فرکانس: بررسی تغییرات فرکانس‌های مغزی در EEG در پاسخ به محرک‌ها یا در طول بیماری‌های عصبی.
• فشرده‌سازی: کاهش حجم داده‌ها برای ذخیره‌سازی و انتقال آسان‌تر.

پردازش سیگنال در مخابرات: مدولاسیون و دمدولاسیون

سیستم‌های مخابراتی اساساً بر پایه پردازش سیگنال بنا شده‌اند. متلب با Communications Toolbox امکانات گسترده‌ای برای:

• مدولاسیون و دمدولاسیون: پیاده‌سازی انواع طرح‌های مدولاسیون آنالوگ (AM, FM) و دیجیتال (PSK, FSK, QAM).
• شبیه‌سازی کانال: مدل‌سازی کانال‌های مخابراتی با نویز، تضعیف و چندمسیرگی.
• طراحی گیرنده‌ها: توسعه و تست الگوریتم‌های دمدولاسیون، همگام‌سازی، و حذف تداخل.
• کدینگ کانال: پیاده‌سازی کدهای تصحیح خطا (Error Correction Codes).

ادغام پردازش سیگنال با یادگیری ماشین

یکی از هیجان‌انگیزترین روندهای اخیر، ادغام پردازش سیگنال با یادگیری ماشین (Machine Learning) و یادگیری عمیق (Deep Learning) است. پردازش سیگنال برای استخراج ویژگی‌های معنی‌دار از داده‌های خام (مانند سیگنال‌های صوتی، EEG، لرزش) استفاده می‌شود و سپس این ویژگی‌ها به مدل‌های یادگیری ماشین (مانند SVM، شبکه‌های عصبی) داده می‌شوند تا وظایفی مانند طبقه‌بندی، تشخیص الگو، یا پیش‌بینی را انجام دهند. متلب با Machine Learning Toolbox و Deep Learning Toolbox این ادغام را بسیار آسان می‌کند.

مثال کدنویسی: استخراج ویژگی از سیگنال برای طبقه‌بندی (مفهومی)

این مثال نشان می‌دهد که چگونه می‌توان MFCC (ویژگی‌های Mel-Frequency Cepstral Coefficients) را از یک سیگنال صوتی استخراج کرد که اغلب در تشخیص گفتار و شناسایی بلندگو استفاده می‌شود.

% مثال کدنویسی (مفهومی): استخراج ویژگی MFCC از سیگنال صوتی
% نیاز به Audio Toolbox دارد.

% Fs = 16000; % نرخ نمونه‌برداری 16 kHz برای گفتار
% t = 0:1/Fs:0.5-1/Fs; % 0.5 ثانیه سیگنال
% 
% % تولید یک سیگنال گفتاری ساده (مثلاً یک سینوسی با فرکانس متغیر)
% speech_signal = chirp(t, 200, t(end), 1000, 'linear');
% 
% % محاسبه MFCC
% % numCoeffs: تعداد ضرایب Cepstral
% % WindowLength: طول پنجره (مثلاً 25 ms)
% % OverlapLength: طول هم‌پوشانی (مثلاً 10 ms)
% 
% % [coeffs, delta, deltaDelta, loc] = mfcc(speech_signal, Fs, ...
% %     'NumCoeffs', 13, ...
% %     'WindowLength', round(0.025*Fs), ...
% %     'OverlapLength', round(0.010*Fs));
% 
% % % نمایش ضرایب MFCC (اولین ضریب به طور معمول انرژی است)
% % figure;
% % imagesc(loc, 1:size(coeffs,2), coeffs');
% % axis xy;
% % colormap('jet');
% % title('ضرایب MFCC');
% % xlabel('زمان (ثانیه)');
% % ylabel('شماره ضریب MFCC');
% % colorbar;
% 
% % Note: For real applications, you would load an actual speech signal and 
% % then train a machine learning model (e.g., SVM, neural network) with these coeffs.
% 
% % این بخش فقط برای تکمیل مثال است و کد واقعی MFCC در بالا کامنت شده است.
% % فرض کنید ویژگی‌ها را استخراج کرده‌اید:
% features = randn(100, 13); % 100 فریم، 13 ضریب MFCC
% labels = [ones(50,1); zeros(50,1)]; % 50 نمونه از کلاس 1، 50 نمونه از کلاس 0
% 
% % آموزش یک SVM ساده
% % Mdl = fitcsvm(features, labels);
% 
% % پیش‌بینی بر روی داده‌های جدید
% % new_features = randn(10, 13);
% % [predicted_labels, score] = predict(Mdl, new_features);
% 
% disp('مثال مفهومی: استخراج ویژگی و آموزش مدل یادگیری ماشین');
% disp('برای اجرای کد واقعی MFCC و یادگیری ماشین، نیاز به Audio و Machine Learning Toolboxes و داده‌های واقعی دارید.');

در این رویکرد، پردازش سیگنال به عنوان "frontend" برای یادگیری ماشین عمل می‌کند و داده‌های خام را به فرمت قابل فهم برای الگوریتم‌های هوش مصنوعی تبدیل می‌کند.

نکات و بهترین روش‌ها در کدنویسی متلب برای پردازش سیگنال

برای حداکثر بهره‌وری و کارایی در پردازش سیگنال با متلب، رعایت برخی نکات و بهترین روش‌ها ضروری است.

بهینه‌سازی عملکرد کد

• از عملیات ماتریسی استفاده کنید: متلب برای عملیات ماتریسی و برداری بهینه شده است. تا حد امکان از حلقه‌های for پرهیز کرده و از عملیات برداری استفاده کنید.
• از توابع داخلی (Built-in Functions) استفاده کنید: توابع متلب که در C/C++ پیاده‌سازی شده‌اند، بسیار سریع‌تر از کدهای نوشته شده توسط کاربر هستند. به جای پیاده‌سازی دستی FFT، از fft استفاده کنید.
• از پیش‌تخصیص حافظه (Pre-allocation) استفاده کنید: اگر می‌دانید که یک آرایه در طول یک حلقه رشد خواهد کرد، از قبل اندازه نهایی آن را با zeros یا ones تخصیص دهید تا از تخصیص مجدد حافظه مکرر جلوگیری شود.
• پروفایلر متلب (MATLAB Profiler): از ابزار پروفایلر (با دستور profile on و profile viewer) برای شناسایی گلوگاه‌های عملکردی در کد خود استفاده کنید.
• codegen برای تولید کد C/C++: برای بخش‌های حیاتی کد که نیاز به عملکرد بلادرنگ دارند، می‌توانید از codegen برای تولید کد C/C++ قابل کامپایل استفاده کنید.

اشکال‌زدایی و اعتبارسنجی

• از دیباگر متلب استفاده کنید: دیباگر متلب (با قرار دادن نقاط توقف - breakpoints) ابزاری قدرتمند برای ردیابی خطاها و درک جریان اجرای کد است.
• ورودی‌های خود را بررسی کنید: همیشه مطمئن شوید که سیگنال‌های ورودی به توابع شما دارای فرمت، نرخ نمونه‌برداری و محدوده‌های دامنه صحیح هستند.
• خروجی‌ها را بصری‌سازی کنید: در هر مرحله از پردازش، خروجی‌ها را با plot، stem، spectrogram و سایر ابزارهای بصری‌سازی بررسی کنید تا از صحت عملیات مطمئن شوید.
• مقایسه با نتایج شناخته شده: اگر در حال پیاده‌سازی یک الگوریتم استاندارد هستید، نتایج خود را با نتایج نمونه‌ها یا پیاده‌سازی‌های معتبر مقایسه کنید.

استفاده از مستندات متلب و منابع آنلاین

• مستندات رسمی متلب (MATLAB Documentation): مستندات متلب بسیار جامع و شامل توضیحات دقیق توابع، مثال‌های کدنویسی و مباحث تئوریک است. با تایپ doc function_name (مثلاً doc fft) می‌توانید به سرعت به آن دسترسی پیدا کنید.
• MATLAB Central: این وب‌سایت شامل File Exchange است که در آن کاربران می‌توانند کدها و توابع خود را به اشتراک بگذارند. همچنین دارای بخش پرسش و پاسخ فعال است.
• فروم‌ها و انجمن‌های تخصصی: فروم‌های آنلاین پردازش سیگنال و متلب منابع عالی برای طرح پرسش‌ها و یافتن راه‌حل‌ها هستند.
• دوره‌های آموزشی: دوره‌های آنلاین (مانند Coursera، edX) و دانشگاهی می‌توانند درک عمیق‌تری از مباحث تئوریک و عملی فراهم کنند.

با رعایت این نکات، شما می‌توانید کدهای متلب کارآمدتر، قابل اطمینان‌تر و قابل نگهداری‌تری برای پروژه‌های پردازش سیگنال خود بنویسید.

نتیجه‌گیری

پردازش سیگنال در متلب، با ارائه یک محیط قدرتمند و انعطاف‌پذیر، امکان تحلیل، طراحی و پیاده‌سازی سیستم‌های پیچیده را فراهم می‌آورد. از مفاهیم پایه سیگنال‌ها و عملیات‌های زمانی گرفته تا تحلیل‌های پیشرفته فرکانسی و زمان-فرکانس، متلب به مهندسان و محققان این امکان را می‌دهد که با داده‌های سیگنالی به شیوه‌ای کارآمد و بصری تعامل داشته باشند. این مقاله به بررسی جامع اصول پردازش سیگنال، انواع فیلترها و روش‌های طراحی آن‌ها، و همچنین کاربردهای متنوع این حوزه در صنایعی نظیر مخابرات، پزشکی و صوتی پرداخت. با ارائه مثال‌های کدنویسی متعدد، تلاش شد تا درک عملی و کاربردی این مفاهیم تسهیل شود. امید است این راهنما به عنوان یک مرجع ارزشمند برای علاقه‌مندان به پردازش سیگنال و متلب عمل کرده و الهام‌بخش پروژه‌ها و تحقیقات آینده شما باشد. تسلط بر این ابزار قدرتمند، دروازه‌ای به سوی نوآوری‌های بی‌شمار در دنیای دیجیتال امروز است.