بهینه‌سازی در متلب: حل مسائل با تولباکس Optimization

در دنیای مهندسی، علوم، اقتصاد و بسیاری از حوزه‌های دیگر، بهینه‌سازی (Optimization) نقشی حیاتی ایفا می‌کند. از طراحی هواپیماها و خودروها گرفته تا بهینه‌سازی مسیرهای لجستیک، مدیریت سبد سهام، و تنظیم پارامترهای یک مدل علمی، هدف نهایی اغلب یافتن بهترین راه‌حل ممکن از میان گزینه‌های موجود است. این “بهترین” راه‌حل معمولاً با حداقل کردن یک تابع هزینه یا حداکثر کردن یک تابع سود تعریف می‌شود، در حالی که مجموعه‌ای از محدودیت‌ها نیز باید رعایت شوند. نرم‌افزار متلب (MATLAB) با قابلیت‌های قدرتمند محاسباتی و تولباکس‌های تخصصی خود، به یکی از ابزارهای اصلی و پرکاربرد برای حل مسائل بهینه‌سازی پیچیده تبدیل شده است. تولباکس Optimization متلب، مجموعه‌ای جامع از توابع و الگوریتم‌ها را در اختیار کاربران قرار می‌دهد که قادر به حل طیف وسیعی از مسائل بهینه‌سازی، از خطی و درجه دوم گرفته تا غیرخطی و سراسری، هستند.

هدف از این مقاله، ارائه یک راهنمای جامع و تخصصی برای درک، فرموله‌بندی و حل مسائل بهینه‌سازی با استفاده از تولباکس Optimization در متلب است. ما به تشریح مفاهیم بنیادی بهینه‌سازی، معرفی توابع کلیدی موجود در این تولباکس، نحوه آماده‌سازی و پیاده‌سازی مسائل مختلف، و همچنین بررسی نکات پیشرفته‌ای که می‌تواند عملکرد و دقت حل‌کننده‌ها را به طور چشمگیری افزایش دهد، خواهیم پرداخت. این راهنما برای دانشجویان، محققان و مهندسانی طراحی شده است که به دنبال تسلط بر ابزارهای بهینه‌سازی متلب برای حل چالش‌های واقعی خود هستند.

مقدمه‌ای بر بهینه‌سازی و جایگاه متلب در آن

بهینه‌سازی در هسته خود، فرآیند یافتن بهترین عنصر (با توجه به برخی معیارها) از میان مجموعه‌ای از گزینه‌های موجود است. این فرآیند شامل حداقل کردن یا حداکثر کردن یک تابع هدف (Objective Function) است، که معمولاً تابعی از متغیرهای تصمیم (Design Variables) مسئله می‌باشد. در این فرآیند، متغیرهای تصمیم تحت محدودیت‌های خاصی (Constraints) عمل می‌کنند که می‌توانند به صورت معادلات یا نامعادلات باشند. یک مسئله بهینه‌سازی به طور کلی به شکل زیر بیان می‌شود:

Min / Max f(x)
Subject to:
g(x) <= 0  (محدودیت‌های نامساوی)
h(x) = 0  (محدودیت‌های مساوی)
lb <= x <= ub  (حدود بالا و پایین برای متغیرها)

که در آن f(x) تابع هدف، x بردار متغیرهای تصمیم، g(x) و h(x) توابع محدودیت‌های نامساوی و مساوی، و lb و ub به ترتیب کران پایین و بالای متغیرها هستند.

چرا بهینه‌سازی حیاتی است؟

بهینه‌سازی در زمینه‌های مختلفی کاربرد دارد:

• مهندسی: طراحی بهینه سازه‌ها با حداقل وزن و حداکثر استحکام، طراحی سیستم‌های کنترل برای حداکثر پایداری و عملکرد، بهینه‌سازی فرآیندهای شیمیایی برای افزایش بازدهی.
• اقتصاد و مالی: بهینه‌سازی سبد سهام برای حداکثر بازدهی و حداقل ریسک، برنامه‌ریزی تولید برای حداقل هزینه، تخصیص منابع.
• علوم: فیتینگ مدل به داده‌های تجربی، طراحی آزمایش‌ها، کشف داروها.
• عملیات و مدیریت: بهینه‌سازی مسیرهای حمل و نقل، زمان‌بندی پروژه‌ها و کارکنان، مدیریت زنجیره تامین.

جایگاه متلب در بهینه‌سازی

متلب به دلایل متعددی به یک ابزار قدرتمند برای بهینه‌سازی تبدیل شده است:

• محیط محاسباتی قدرتمند: متلب یک زبان ماتریسی است که برای محاسبات عددی، به ویژه برای مسائل مهندسی و علمی، بهینه شده است.
• تولباکس Optimization جامع: این تولباکس طیف وسیعی از الگوریتم‌ها و حل‌کننده‌ها (solvers) را ارائه می‌دهد که برای انواع مسائل بهینه‌سازی طراحی شده‌اند.
• سهولت در تعریف مسئله: متلب امکان تعریف توابع هدف و محدودیت‌ها را به سادگی با استفاده از فانکشن‌هندل‌ها (function handles) و توابع بی‌نام (anonymous functions) فراهم می‌کند.
• قابلیت‌های بصری‌سازی: امکان رسم نمودارها و تحلیل نتایج بهینه‌سازی به صورت بصری، درک عمیق‌تری از مسئله و راه‌حل‌ها ارائه می‌دهد.
• یکپارچگی با سایر تولباکس‌ها: متلب امکان ترکیب الگوریتم‌های بهینه‌سازی با ابزارهای شبیه‌سازی، پردازش سیگنال، یادگیری ماشین و دیگر حوزه‌ها را فراهم می‌کند.

تولباکس Optimization متلب به عنوان هسته اصلی، ابزارهایی برای حل مسائل بهینه‌سازی خطی، درجه دوم، غیرخطی و بهینه‌سازی سراسری فراهم می‌کند. این تولباکس شامل الگوریتم‌های گوناگونی از جمله الگوریتم‌های مبتنی بر گرادیان (gradient-based)، روش‌های جستجوی مستقیم (direct search)، و الگوریتم‌های فراابتکاری (metaheuristics) مانند الگوریتم ژنتیک است.

مفاهیم بنیادی در بهینه‌سازی: درک عناصر اصلی یک مسئله

پیش از ورود به جزئیات حل مسائل با متلب، درک دقیق مفاهیم بنیادی بهینه‌سازی ضروری است. این مفاهیم پایه‌های فرموله‌بندی صحیح و انتخاب الگوریتم مناسب را تشکیل می‌دهند.

۱. تابع هدف (Objective Function)

تابع هدف (که گاهی تابع هزینه یا تابع سود نیز نامیده می‌شود) تابعی است که ما به دنبال حداقل کردن یا حداکثر کردن آن هستیم. این تابع مقداری عددی را برای هر مجموعه از متغیرهای تصمیم تولید می‌کند و نشان‌دهنده "کیفیت" یا "عملکرد" یک راه‌حل است. در متلب، توابع هدف معمولاً به صورت فانکشن‌هندل تعریف می‌شوند و تنها ورودی آن‌ها بردار متغیرهای تصمیم x است و خروجی آن‌ها مقدار اسکالر تابع هدف f(x) می‌باشد.

۲. متغیرهای تصمیم (Design Variables / Decision Variables)

متغیرهای تصمیم، پارامترهایی هستند که ما می‌توانیم آن‌ها را تغییر دهیم تا تابع هدف را بهینه کنیم. این متغیرها معمولاً در یک بردار x جمع‌آوری می‌شوند. تعداد و ماهیت این متغیرها بستگی به پیچیدگی و ماهیت مسئله دارد. برای مثال، در بهینه‌سازی یک مسیر، متغیرها می‌توانند مختصات نقاط میانی مسیر باشند؛ یا در بهینه‌سازی طراحی یک موتور، ابعاد هندسی و مواد اولیه می‌توانند متغیرهای تصمیم باشند.

۳. محدودیت‌ها (Constraints)

محدودیت‌ها شرایطی هستند که متغیرهای تصمیم باید آن‌ها را رعایت کنند. این محدودیت‌ها فضای جستجو را محدود می‌کنند و تضمین می‌کنند که راه‌حل یافت شده از نظر فیزیکی، مهندسی یا اقتصادی منطقی و قابل قبول باشد. محدودیت‌ها به چند دسته تقسیم می‌شوند:

• محدودیت‌های مرزی (Bounds): این محدودیت‌ها، کران بالا (upper bound) و کران پایین (lower bound) را برای هر یک از متغیرهای تصمیم مشخص می‌کنند. این ساده‌ترین نوع محدودیت است و به صورت lb <= x <= ub بیان می‌شود.
• محدودیت‌های نامساوی خطی (Linear Inequality Constraints): این محدودیت‌ها به صورت A*x <= b بیان می‌شوند، که در آن A یک ماتریس و b یک بردار است. این محدودیت‌ها یک فضای حل‌پذیری (feasible region) چندوجهی (polyhedral) را ایجاد می‌کنند.
• محدودیت‌های مساوی خطی (Linear Equality Constraints): این محدودیت‌ها به صورت Aeq*x = beq بیان می‌شوند. آن‌ها راه‌حل را به یک زیرفضا محدود می‌کنند.
• محدودیت‌های نامساوی غیرخطی (Nonlinear Inequality Constraints): این محدودیت‌ها به صورت c(x) <= 0 بیان می‌شوند، که c(x) یک تابع برداری غیرخطی از x است.
• محدودیت‌های مساوی غیرخطی (Nonlinear Equality Constraints): این محدودیت‌ها به صورت ceq(x) = 0 بیان می‌شوند، که ceq(x) نیز یک تابع برداری غیرخطی از x است.

پیچیدگی مسئله بهینه‌سازی تا حد زیادی به وجود و ماهیت محدودیت‌ها بستگی دارد.

۴. بهینه‌های محلی و سراسری (Local vs. Global Optima)

• بهینه محلی (Local Optimum): یک نقطه x* بهینه محلی است اگر در همسایگی آن، هیچ نقطه دیگری با مقدار تابع هدف بهتر وجود نداشته باشد. به عبارت دیگر، f(x*) بهترین مقدار در یک منطقه کوچک اطراف x* است.
• بهینه سراسری (Global Optimum): یک نقطه x** بهینه سراسری است اگر در کل فضای جستجو، هیچ نقطه دیگری با مقدار تابع هدف بهتر از f(x**) وجود نداشته باشد. یافتن بهینه سراسری، به ویژه در مسائل غیرخطی و غیرمحدب (non-convex)، معمولاً دشوارتر است و اغلب نیازمند الگوریتم‌های جستجوی سراسری است.

اکثر حل‌کننده‌های مبتنی بر گرادیان در تولباکس Optimization متلب، بهینه‌های محلی را پیدا می‌کنند. برای یافتن بهینه‌های سراسری، نیاز به استفاده از حل‌کننده‌های Global Optimization مانند الگوریتم ژنتیک (ga) یا جستجوی الگو (patternsearch) است.

۵. مسائل محدب و غیرمحدب (Convex vs. Non-convex Problems)

• مسائل محدب (Convex Problems): در یک مسئله بهینه‌سازی محدب، تابع هدف محدب است و فضای حل‌پذیری نیز یک مجموعه محدب است. ویژگی کلیدی مسائل محدب این است که هر بهینه محلی، یک بهینه سراسری نیز محسوب می‌شود. این مسائل معمولاً راحت‌تر حل می‌شوند. بهینه‌سازی خطی (LP) و بهینه‌سازی درجه دوم (QP) با ماتریس هسین مثبت معین، نمونه‌هایی از مسائل محدب هستند.
• مسائل غیرمحدب (Non-convex Problems): در مسائل غیرمحدب، ممکن است چندین بهینه محلی وجود داشته باشد که هیچ یک از آن‌ها لزوماً بهینه سراسری نیستند. حل این مسائل به طور قابل توجهی دشوارتر است و اغلب به الگوریتم‌های پیچیده‌تری نیاز دارد. اکثر مسائل بهینه‌سازی غیرخطی (NLP) در عمل، غیرمحدب هستند.

درک این مفاهیم، گام اول در فرموله‌بندی صحیح یک مسئله بهینه‌سازی و انتخاب استراتژی حل مناسب در متلب است.

مروری جامع بر تولباکس Optimization متلب و قابلیت‌های آن

تولباکس Optimization متلب مجموعه‌ای غنی از توابع و الگوریتم‌ها را برای حل انواع مسائل بهینه‌سازی ارائه می‌دهد. انتخاب حل‌کننده مناسب بستگی به نوع تابع هدف، نوع محدودیت‌ها و خواص دیگر مسئله دارد. در اینجا به معرفی و دسته‌بندی اصلی‌ترین حل‌کننده‌های این تولباکس می‌پردازیم:

الف) حل‌کننده‌های بهینه‌سازی محلی (Local Solvers)

این حل‌کننده‌ها به دنبال یافتن یک بهینه محلی هستند و معمولاً از یک نقطه شروع اولیه (initial guess) آغاز می‌کنند. آن‌ها در مسائل محدب بهینه سراسری را پیدا می‌کنند، اما در مسائل غیرمحدب ممکن است در یک بهینه محلی متوقف شوند.

• linprog: برای حل مسائل بهینه‌سازی خطی (Linear Programming - LP) استفاده می‌شود. تابع هدف و تمامی محدودیت‌ها خطی هستند.
• quadprog: برای حل مسائل بهینه‌سازی درجه دوم (Quadratic Programming - QP) استفاده می‌شود. تابع هدف درجه دوم و محدودیت‌ها خطی هستند.
• fminunc: برای بهینه‌سازی توابع غیرخطی بدون قید (Unconstrained Nonlinear Optimization) استفاده می‌شود. این تابع به دنبال حداقل کردن یک تابع اسکالر بدون هیچ محدودیت صریحی است.
• fmincon: شاید پرکاربردترین حل‌کننده در این تولباکس باشد. این تابع برای حل مسائل بهینه‌سازی غیرخطی با قید (Constrained Nonlinear Optimization) استفاده می‌شود. می‌تواند محدودیت‌های خطی، غیرخطی و مرزی را مدیریت کند.
• fminsearch: یک روش جستجوی مستقیم (direct search) مبتنی بر سیمپلکس (simplex) است که نیازی به مشتقات ندارد. برای توابع غیرخطی بدون قید، به خصوص برای توابعی که ممکن است مشتق‌پذیر نباشند یا مشتقات آن‌ها دشوار باشد، مناسب است. معمولاً برای مسائل با تعداد متغیرهای کم (کمتر از ۱۰) توصیه می‌شود.
• lsqnonlin: برای حل مسائل کمترین مربعات غیرخطی (Nonlinear Least Squares) استفاده می‌شود، که هدف آن حداقل کردن مجموع مربعات توابع غیرخطی است. معمولاً برای فیتینگ منحنی‌ها (curve fitting) و تخمین پارامترها به کار می‌رود.
• fminimax: برای حل مسائل مینیمکس (Minimax Optimization) استفاده می‌شود، که هدف آن حداقل کردن حداکثر مقدار یک مجموعه از توابع است.
• fgoalattain: برای حل مسائل بهینه‌سازی چندهدفه (Multi-objective Optimization) با رویکرد دستیابی به اهداف (goal attainment) استفاده می‌شود.

ب) حل‌کننده‌های بهینه‌سازی سراسری (Global Solvers)

این حل‌کننده‌ها برای یافتن بهینه سراسری در مسائل غیرمحدب طراحی شده‌اند که ممکن است چندین بهینه محلی داشته باشند. آن‌ها از روش‌های ابتکاری یا فراابتکاری برای جستجوی فضای راه‌حل استفاده می‌کنند.

• ga: پیاده‌سازی الگوریتم ژنتیک (Genetic Algorithm). یک روش ابتکاری الهام‌گرفته از تکامل طبیعی که به دنبال بهینه سراسری است و می‌تواند با توابع هدف و محدودیت‌های غیرمشیتق‌پذیر و ناپیوسته نیز کار کند.
• patternsearch: یک روش جستجوی مستقیم دیگر که نیازی به مشتقات ندارد و می‌تواند بهینه‌های سراسری را در مسائل غیرمحدب بیابد. این روش به ویژه برای مسائلی که تابع هدف در آن‌ها ناهموار یا گسسته است، مفید است.
• simulannealbnd: پیاده‌سازی الگوریتم شبیه‌سازی تبرید (Simulated Annealing). این الگوریتم از فرآیند خنک‌سازی فلزات الهام گرفته شده و برای جستجوی سراسری در مسائل با توابع هدف ناپیوسته یا نویزدار مناسب است.
• multistart: این تابع به تنهایی یک حل‌کننده نیست، بلکه یک "فراحل‌کننده" (meta-solver) است که چندین بار یک حل‌کننده محلی (مانند fmincon) را از نقاط شروع اولیه مختلف اجرا می‌کند تا احتمال یافتن بهینه سراسری را افزایش دهد.
• globalsearch: مشابه multistart، اما با رویکردی پیچیده‌تر و هوشمندانه‌تر برای انتخاب نقاط شروع و انجام جستجوی محلی، به خصوص با fmincon ترکیب می‌شود.

ج) توابع کمکی و ابزارهای پیکربندی

• optimoptions: این تابع برای تعریف و تنظیم گزینه‌ها و پارامترهای مختلف برای هر حل‌کننده بهینه‌سازی استفاده می‌شود. تنظیماتی مانند الگوریتم مورد استفاده، تعداد تکرارها، تلورانس‌ها (tolerances)، نمایش خروجی و ارائه گرادیان‌ها از طریق این تابع انجام می‌شود. استفاده صحیح از optimoptions برای کنترل رفتار حل‌کننده و بهبود عملکرد آن بسیار حیاتی است.
• optimtool: (نسخه‌های قدیمی‌تر متلب) یک ابزار رابط کاربری گرافیکی (GUI) بود که امکان تعریف و حل مسائل بهینه‌سازی را بدون نیاز به کدنویسی عمیق فراهم می‌کرد. در نسخه‌های جدیدتر، تمرکز بر روی برنامه‌نویسی مستقیم با توابع خط فرمان است.

درک این دسته‌بندی و آشنایی با توابع کلیدی، اولین گام برای انتخاب رویکرد مناسب برای حل مسئله بهینه‌سازی شما در متلب است. بخش‌های بعدی به نحوه فرموله‌بندی و پیاده‌سازی این مسائل به صورت عملی خواهند پرداخت.

فرموله‌بندی مسائل بهینه‌سازی برای پیاده‌سازی در متلب

یکی از مهم‌ترین مراحل در حل موفقیت‌آمیز یک مسئله بهینه‌سازی، فرموله‌بندی صحیح آن به گونه‌ای است که قابل فهم برای حل‌کننده‌های متلب باشد. این فرآیند شامل ترجمه یک چالش دنیای واقعی به یک مدل ریاضی استاندارد است که متلب قادر به پردازش آن باشد.

۱. تعریف متغیرهای تصمیم (x)

ابتدا، تمامی پارامترهایی که می‌توانند تغییر کنند و بر تابع هدف تاثیر می‌گذارند را به عنوان متغیرهای تصمیم شناسایی کرده و آن‌ها را در یک بردار واحد x جمع‌آوری کنید. ترتیب این متغیرها در بردار x بسیار مهم است و باید در تمامی توابع (هدف و محدودیت‌ها) یکسان باشد.

% فرض کنید سه متغیر تصمیم داریم: x1, x2, x3
% در متلب، اینها به صورت یک بردار ستونی یا سطری x مدیریت می‌شوند.
% x = [x1; x2; x3];

۲. تعریف تابع هدف (Objective Function)

تابع هدف باید به عنوان یک تابع متلب (معمولاً یک M-file یا یک anonymous function) تعریف شود که بردار متغیرهای تصمیم x را به عنوان ورودی می‌گیرد و یک مقدار اسکالر (مقدار تابع هدف) را برمی‌گرداند. برای مسائل بهینه‌سازی، متلب همواره به دنبال حداقل کردن تابع هدف است. اگر می‌خواهید یک تابع را حداکثر کنید، باید منفی آن تابع را حداقل کنید.

% مثال: حداقل کردن f(x) = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2
function f = myObjective(x)
    f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2;
end

% یا به صورت anonymous function:
% obj_fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2;

۳. تعریف محدودیت‌ها

فرموله‌بندی محدودیت‌ها بسته به نوع آن‌ها متفاوت است:

الف) محدودیت‌های مرزی (Bounds):

کران‌های پایین (lb) و بالا (ub) برای هر متغیر تصمیم به صورت بردارهایی با ابعاد مشابه x تعریف می‌شوند.

% فرض کنید 0 <= x1 <= 10, -5 <= x2 <= 5, 2 <= x3 <= Inf
lb = [0; -5; 2];
ub = [10; 5; Inf]; % Inf برای محدودیت بدون کران بالا

ب) محدودیت‌های خطی (Linear Constraints):

این محدودیت‌ها به فرم استاندارد A*x <= b (برای نامساوی‌ها) و Aeq*x = beq (برای مساوی‌ها) باید تعریف شوند.

% مثال:
% محدودیت نامساوی خطی: 2*x(1) + x(2) - x(3) <= 4
% محدودیت مساوی خطی: x(1) + 3*x(2) = 7

% برای A*x <= b:
A = [2, 1, -1];
b = 4;

% برای Aeq*x = beq:
Aeq = [1, 3, 0];
beq = 7;

ج) محدودیت‌های غیرخطی (Nonlinear Constraints):

این محدودیت‌ها در یک تابع مجزا (معمولاً یک M-file یا anonymous function) تعریف می‌شوند که دو خروجی c (برای نامساوی‌های غیرخطی) و ceq (برای مساوی‌های غیرخطی) را برمی‌گرداند. نکته مهم این است که محدودیت‌های نامساوی غیرخطی باید به فرم c(x) <= 0 باشند.

% مثال:
% محدودیت نامساوی غیرخطی: x(1)^2 + x(2)^2 - 1 <= 0 (دایره واحد)
% محدودیت مساوی غیرخطی: x(1)*x(2) - 3 = 0

function [c, ceq] = myNonlinearConstraints(x)
    % محدودیت‌های نامساوی غیرخطی: c(x) <= 0
    c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; 
    
    % محدودیت‌های مساوی غیرخطی: ceq(x) = 0
    ceq = x(1)*x(2) - 3;
end

% یا به صورت anonymous function (معمولاً برای مسائل ساده‌تر):
% nonlcon_fun = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 1, x(1)*x(2) - 3);

توجه داشته باشید که تابع deal در اینجا برای برگرداندن چندین خروجی از یک anonymous function استفاده می‌شود. همچنین، همیشه بررسی کنید که محدودیت‌های نامساوی غیرخطی شما به فرم c(x) <= 0 باشند. اگر محدودیت شما g(x) >= 0 است، آن را به -g(x) <= 0 تبدیل کنید.

۴. نقطه شروع اولیه (Initial Guess - x0)

برای بسیاری از حل‌کننده‌های محلی (مانند fmincon، fminunc)، یک نقطه شروع اولیه x0 لازم است. این نقطه می‌تواند تأثیر زیادی بر روی راه‌حل نهایی داشته باشد، به خصوص در مسائل غیرمحدب، زیرا حل‌کننده از x0 شروع به جستجو می‌کند و ممکن است در اولین بهینه محلی که به آن می‌رسد، متوقف شود. انتخاب یک x0 خوب که در فضای حل‌پذیری قرار دارد، می‌تواند به بهبود سرعت همگرایی و یافتن راه‌حل‌های بهتر کمک کند.

x0 = [0; 0; 0]; % مثال: نقطه شروع اولیه برای سه متغیر

۵. تنظیم گزینه‌های حل‌کننده (Optimoptions)

برای کنترل رفتار حل‌کننده، مانند انتخاب الگوریتم، تنظیم تلورانس‌ها، و مشخص کردن نمایش خروجی، از تابع optimoptions استفاده می‌شود. این مرحله بسیار مهم است زیرا می‌تواند تأثیر قابل توجهی بر عملکرد، سرعت و دقت حل‌کننده داشته باشد.

options = optimoptions('fmincon', ...
                       'Algorithm', 'sqp', ... % یا 'interior-point', 'active-set', 'trust-region-reflective'
                       'Display', 'iter', ...  % 'off', 'iter', 'final', 'diagnose'
                       'MaxIterations', 1000, ...
                       'TolFun', 1e-6);

با فرموله‌بندی دقیق این عناصر، می‌توانید مسئله بهینه‌سازی خود را به درستی برای حل‌کننده‌های متلب آماده کنید. در بخش بعدی، به مثال‌های عملی از حل انواع مسائل با توابع مختلف تولباکس Optimization خواهیم پرداخت.

حل انواع مسائل بهینه‌سازی: از خطی تا غیرخطی و سراسری

تولباکس Optimization متلب، توابع متعددی برای مواجهه با انواع مختلف مسائل بهینه‌سازی ارائه می‌دهد. در این بخش، به تفصیل به نحوه استفاده از حل‌کننده‌های اصلی برای مسائل خطی، درجه دوم، غیرخطی (با و بدون قید) و بهینه‌سازی سراسری خواهیم پرداخت.

۱. بهینه‌سازی خطی (Linear Programming - LP) با linprog

مسائل بهینه‌سازی خطی شامل یک تابع هدف خطی و محدودیت‌های خطی (هم مساوی و هم نامساوی) هستند. فرم استاندارد در متلب به شکل زیر است:

Min c'*x
Subject to:
A*x <= b
Aeq*x = beq
lb <= x <= ub

linprog این فرم را مستقیم می‌پذیرد.

مثال: یک شرکت تولیدکننده اسباب‌بازی دو نوع اسباب‌بازی (A و B) تولید می‌کند. اسباب‌بازی A به ۱ واحد پلاستیک و ۳ واحد چوب نیاز دارد و ۴ دلار سود می‌دهد. اسباب‌بازی B به ۲ واحد پلاستیک و ۱ واحد چوب نیاز دارد و ۲ دلار سود می‌دهد. شرکت دارای ۱۰۰ واحد پلاستیک و ۹۰ واحد چوب است. هدف حداکثر کردن سود است.

فرموله‌بندی:

• متغیرهای تصمیم: x(1) = تعداد اسباب‌بازی A، x(2) = تعداد اسباب‌بازی B.
• تابع هدف (حداکثر سود): Max P = 4*x(1) + 2*x(2).
  * برای linprog باید حداقل شود، پس Min -P = -4*x(1) - 2*x(2). بنابراین c = [-4; -2].
• محدودیت‌ها:
  * پلاستیک: 1*x(1) + 2*x(2) <= 100 => A = [1, 2]; b = 100;
  * چوب: 3*x(1) + 1*x(2) <= 90 => A = [A; 3, 1]; b = [b; 90];
  * غیرمنفی بودن: x(1) >= 0, x(2) >= 0 => lb = [0; 0]; ub = [Inf; Inf];

c = [-4; -2];           % تابع هدف برای حداقل کردن منفی سود
A = [1, 2; 3, 1];       % ماتریس محدودیت‌های نامساوی
b = [100; 90];          % بردار سمت راست محدودیت‌های نامساوی
Aeq = [];               % بدون محدودیت‌های مساوی
beq = [];
lb = [0; 0];            % کران‌های پایین
ub = [Inf; Inf];        % کران‌های بالا

[x, fval, exitflag, output] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

disp('Optimal Production:');
fprintf('Toy A: %g units\n', x(1));
fprintf('Toy B: %g units\n', x(2));
fprintf('Maximum Profit: %g $\n', -fval); % برگرداندن به سود اصلی

۲. بهینه‌سازی درجه دوم (Quadratic Programming - QP) با quadprog

مسائل درجه دوم شامل یک تابع هدف درجه دوم و محدودیت‌های خطی هستند. فرم استاندارد در متلب:

Min 1/2 * x'*H*x + f'*x
Subject to:
A*x <= b
Aeq*x = beq
lb <= x <= ub

H یک ماتریس متقارن (sparse) است.

مثال: بهینه‌سازی سبد سهام. فرض کنید می‌خواهیم ریسک (با واریانس بازدهی سبد) را حداقل کنیم، در حالی که بازدهی مورد انتظار مشخصی را بدست آوریم. ریسک با 1/2 * x'*H*x نشان داده می‌شود که H ماتریس کوواریانس بازدهی سهام است، و f'*x نشان‌دهنده میانگین بازدهی است که به صفر تنظیم می‌شود تا فقط واریانس حداقل شود. محدودیت‌ها شامل جمع وزن‌ها (x) برابر ۱ و کران‌های وزنی برای هر سهام.

% فرض کنید 3 سهام داریم
H = [0.003  -0.001   0.002;   % ماتریس کوواریانس
     -0.001  0.004  -0.001;
      0.002  -0.001   0.005];
f = [0; 0; 0];           % بدون بخش خطی در تابع هدف (فقط واریانس را حداقل می‌کنیم)

% محدودیت‌ها: جمع وزن‌ها باید 1 باشد
Aeq = [1, 1, 1];
beq = 1;

% هر وزن باید بین 0 و 1 باشد (یعنی نمی‌توانیم قرض بگیریم یا فروش کوتاه کنیم)
lb = [0; 0; 0];
ub = [1; 1; 1];

[x, fval] = quadprog(H, f, [], [], Aeq, beq, lb, ub);

disp('Optimal Portfolio Weights:');
fprintf('Stock 1: %g\n', x(1));
fprintf('Stock 2: %g\n', x(2));
fprintf('Stock 3: %g\n', x(3));
fprintf('Minimum Risk (Variance): %g\n', fval);

۳. بهینه‌سازی غیرخطی بدون قید (Unconstrained Nonlinear Optimization) با fminunc

برای حداقل کردن توابع غیرخطی بدون هیچ محدودیت صریحی (به جز کران‌های ضمنی)، از fminunc استفاده می‌شود.

Min f(x)

مثال: حداقل کردن تابع روزنبروک (Rosenbrock function)، یک تابع کلاسیک برای تست الگوریتم‌های بهینه‌سازی:

f(x) = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2

این تابع یک بهینه سراسری در x = [1, 1] با مقدار تابع صفر دارد.

% تعریف تابع هدف
objective_fun = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;

% نقطه شروع اولیه (یک انتخاب مهم برای توابع غیرمحدب)
x0 = [-1.2; 1];

% تنظیم گزینه‌ها (اختیاری اما توصیه می‌شود)
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter');

[x, fval, exitflag, output] = fminunc(objective_fun, x0, options);

disp('Optimal x (fminunc):');
disp(x);
fprintf('Minimum fval: %g\n', fval);

۴. بهینه‌سازی غیرخطی با قید (Constrained Nonlinear Optimization) با fmincon

fmincon پرکاربردترین حل‌کننده برای حداقل کردن توابع غیرخطی تحت محدودیت‌های خطی، غیرخطی و مرزی است. فرم استاندارد:

Min f(x)
Subject to:
A*x <= b
Aeq*x = beq
c(x) <= 0
ceq(x) = 0
lb <= x <= ub

مثال: حداقل کردن تابع بالا (Rosenbrock) با محدودیت دایره واحد: x(1)^2 + x(2)^2 <= 1.

فرموله‌بندی:

• تابع هدف: objective_fun (همانند قبل)
• محدودیت نامساوی غیرخطی: x(1)^2 + x(2)^2 - 1 <= 0
• محدودیت‌های دیگر: هیچ

% تعریف تابع هدف (همانند fminunc)
objective_fun = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;

% تعریف محدودیت‌های غیرخطی
nonlcon_fun = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 1, []); % c <= 0, ceq خالی

x0 = [-1.2; 1]; % نقطه شروع اولیه
lb = []; ub = []; % بدون کران‌های مرزی (اختیاری)
A = []; b = []; % بدون محدودیت‌های خطی
Aeq = []; beq = []; % بدون محدودیت‌های مساوی خطی

options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'sqp', 'Display', 'iter');

[x, fval, exitflag, output] = fmincon(objective_fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon_fun, options);

disp('Optimal x (fmincon with nonlinear constraint):');
disp(x);
fprintf('Minimum fval: %g\n', fval);

۵. بهینه‌سازی سراسری (Global Optimization) با ga و patternsearch

برای مسائلی که دارای چندین بهینه محلی هستند (مسائل غیرمحدب)، حل‌کننده‌های سراسری مانند ga (الگوریتم ژنتیک) و patternsearch (جستجوی الگو) می‌توانند به یافتن بهینه سراسری کمک کنند. این الگوریتم‌ها نیازی به مشتقات ندارند و می‌توانند توابع هدف ناپیوسته یا نویزدار را نیز مدیریت کنند.

الف) الگوریتم ژنتیک (Genetic Algorithm) با ga

ga از اصول انتخاب طبیعی و ژنتیک برای یافتن بهترین راه‌حل در یک جمعیت از راه‌حل‌های کاندیدا استفاده می‌کند.

Min f(x)
Subject to:
A*x <= b
Aeq*x = beq
c(x) <= 0
ceq(x) = 0
lb <= x <= ub

ga به x0 (نقطه شروع اولیه) نیاز ندارد، اما به تعداد متغیرها (nvars) نیاز دارد.

مثال: همان تابع روزنبروک با محدودیت دایره واحد. ga به خصوص برای این نوع مسائل با بهینه‌های محلی زیاد مفید است.

objective_fun = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
nonlcon_fun = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 1, []); % c <= 0, ceq خالی

nvars = 2; % تعداد متغیرها
lb = [-1; -1]; % کران‌های پایین برای دایره واحد
ub = [1; 1];   % کران‌های بالا برای دایره واحد (این‌ها اختیاری و کمک‌کننده هستند)

options = optimoptions('ga', 'Display', 'iter', 'PopulationSize', 200);

[x, fval] = ga(objective_fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon_fun, options);

disp('Optimal x (ga):');
disp(x);
fprintf('Minimum fval: %g\n', fval);

ب) جستجوی الگو (Pattern Search) با patternsearch

patternsearch از یک الگوی نقاط برای جستجوی فضای اطراف نقطه فعلی استفاده می‌کند. این روش نیز مانند ga نیازی به مشتقات ندارد و برای توابع ناهموار مناسب است.

Min f(x)
Subject to:
A*x <= b
Aeq*x = beq
c(x) <= 0
ceq(x) = 0
lb <= x <= ub

مثال: همان تابع و محدودیت‌های قبلی.

objective_fun = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
nonlcon_fun = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 1, []);

x0 = [-1.2; 1]; % patternsearch به x0 نیاز دارد
lb = [-1; -1];
ub = [1; 1];

options = optimoptions('patternsearch', 'Display', 'iter');

[x, fval] = patternsearch(objective_fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon_fun, options);

disp('Optimal x (patternsearch):');
disp(x);
fprintf('Minimum fval: %g\n', fval);

انتخاب بین حل‌کننده‌های محلی و سراسری بستگی به ماهیت مسئله دارد. اگر مسئله محدب است یا می‌دانید که نقطه شروع اولیه خوبی دارید، حل‌کننده‌های محلی سریع‌تر و دقیق‌تر هستند. اگر مسئله غیرمحدب است و می‌خواهید بهینه سراسری را بیابید، حل‌کننده‌های سراسری (یا ترکیبی از آن‌ها مانند multistart با fmincon) گزینه بهتری هستند، هرچند ممکن است زمان محاسباتی بیشتری نیاز داشته باشند.

نکات پیشرفته و بهینه‌سازی عملکرد در حل مسائل متلب

پس از آشنایی با توابع اصلی تولباکس Optimization، برای حل مسائل پیچیده‌تر و بهبود عملکرد، توجه به نکات پیشرفته‌تر ضروری است. این نکات می‌توانند به سرعت، دقت و پایداری فرآیند بهینه‌سازی کمک شایانی کنند.

۱. ارائه گرادیان‌ها و هسین‌ها (Gradients and Hessians)

اکثر حل‌کننده‌های مبتنی بر گرادیان (مانند fmincon و fminunc) برای پیشرفت در فضای جستجو از اطلاعات مشتقات اول (گرادیان) و مشتقات دوم (هسین) استفاده می‌کنند. اگر این مشتقات به صورت تحلیلی (Analytical) توسط کاربر ارائه شوند، حل‌کننده می‌تواند:

• سریع‌تر همگرا شود: محاسبه عددی مشتقات توسط حل‌کننده زمان‌بر است.
• دقیق‌تر باشد: مشتقات تحلیلی دقیق‌تر از مشتقات عددی هستند که با تقریب محاسبه می‌شوند و ممکن است خطاهایی داشته باشند.
• قوی‌تر باشد: در مسائلی با نویز یا ناهمواری، مشتقات تحلیلی پایداری بیشتری ارائه می‌دهند.

برای ارائه گرادیان‌ها، تابع هدف و توابع محدودیت غیرخطی باید گرادیان مربوطه را به عنوان خروجی دوم برگردانند. برای هسین‌ها، تابع هسین مجزایی باید تعریف شود.

مثال برای تابع هدف با گرادیان:

function [f, gradf] = myObjectiveWithGradient(x)
    f = x(1)^2 + x(2)^2;
    if nargout > 1 % بررسی کنید که گرادیان درخواست شده است
        gradf = [2*x(1); 2*x(2)];
    end
end

برای فعال کردن استفاده از گرادیان‌ها، باید در optimoptions تنظیمات مربوطه را اعمال کنید:

options = optimoptions('fmincon', ...
                       'SpecifyObjectiveGradient', true, ...
                       'SpecifyConstraintGradient', true); % اگر محدودیت‌های غیرخطی گرادیان دارند

ارائه هسین‌ها پیچیده‌تر است و معمولاً شامل تعریف یک فانکشن‌هندل برای محاسبه هسین تابع هدف (و هسین لاگرانژین برای fmincon) می‌شود.

۲. تنظیم گزینه‌های حل‌کننده (Solver Options) با optimoptions

optimoptions به شما امکان می‌دهد تا رفتار حل‌کننده را به دقت کنترل کنید. برخی از مهم‌ترین گزینه‌ها عبارتند از:

• Algorithm: انتخاب الگوریتم داخلی حل‌کننده. مثلاً برای fmincon، می‌توانید بین 'interior-point' (پیش‌فرض، معمولاً برای مسائل بزرگ و با تعداد زیاد محدودیت), 'sqp' (برای مسائل متوسط و دقیق), 'active-set' (برای مسائل کوچکتر و کمتر پیچیده) و 'trust-region-reflective' (اگر فقط کران‌ها یا محدودیت‌های خطی دارید و گرادیان ارائه می‌دهید) انتخاب کنید.
• Display: نحوه نمایش خروجی در حین فرآیند بهینه‌سازی ('off', 'iter', 'final', 'diagnose').
• MaxIterations: حداکثر تعداد تکرارها یا ارزیابی‌های تابع.
• MaxFunctionEvaluations: حداکثر تعداد دفعات فراخوانی تابع هدف.
• TolFun: تلورانس روی مقدار تابع هدف. اگر تغییرات تابع هدف کمتر از این مقدار شود، همگرایی اعلام می‌شود.
• TolX: تلورانس روی متغیرهای تصمیم. اگر تغییرات متغیرها کمتر از این مقدار شود، همگرایی اعلام می‌شود.
• ConstraintTolerance: تلورانس برای میزان نقض محدودیت‌ها.

انتخاب درست این پارامترها می‌تواند به جلوگیری از همگرایی زودرس، بهبود دقت، و کاهش زمان محاسباتی کمک کند.

۳. اسکالینگ متغیرها (Scaling Variables)

اگر متغیرهای تصمیم در دامنه‌های عددی بسیار متفاوتی قرار دارند (مثلاً یکی بین 0 و 1 و دیگری بین 1000 و 100000)، این می‌تواند بر پایداری عددی و کارایی حل‌کننده تأثیر منفی بگذارد. اسکالینگ متغیرها به گونه‌ای که همه آن‌ها تقریباً در یک دامنه عددی (مثلاً [-1, 1] یا [0, 1]) قرار گیرند، می‌تواند به حل‌کننده کمک کند تا با پایداری بیشتری عمل کند.

می‌توانید متغیرهای خود را قبل از ارسال به حل‌کننده به صورت دستی اسکال کنید:

% فرض کنید x_real متغیر واقعی است
% x_scaled = (x_real - min_val) / (max_val - min_val)
% یا x_scaled = x_real / scale_factor

و سپس نتایج را به مقیاس اصلی برگردانید.

۴. انتخاب نقطه شروع اولیه (Initial Guess - x0)

در مسائل غیرمحدب، انتخاب x0 می‌تواند به شدت بر روی بهینه محلی که حل‌کننده پیدا می‌کند، تأثیر بگذارد. استراتژی‌های زیر می‌توانند مفید باشند:

• دانش مسئله: اگر اطلاعاتی از دامنه فیزیکی یا مهندسی مسئله دارید، از یک نقطه x0 معقول و در فضای حل‌پذیری استفاده کنید.
• نقاط شروع چندگانه (Multiple Start Points): از multistart یا globalsearch استفاده کنید تا fmincon را از نقاط شروع تصادفی یا تولید شده به صورت سیستماتیک چندین بار اجرا کنید. این کار احتمال یافتن بهینه سراسری را افزایش می‌دهد.
• بهره‌گیری از حل‌کننده‌های سراسری: از ga یا patternsearch برای یافتن یک x0 اولیه خوب، و سپس از fmincon برای پالایش آن راه‌حل به یک بهینه محلی دقیق‌تر استفاده کنید.

۵. مدیریت خطاهای رایج و تشخیص مشکلات

• عدم همگرایی: اگر حل‌کننده همگرا نمی‌شود، ممکن است MaxIterations یا MaxFunctionEvaluations بسیار کوچک باشند، یا تلورانس‌ها خیلی سختگیرانه باشند. همچنین، تابع هدف ممکن است ناهموار باشد.
• نقض محدودیت‌ها: اگر راه‌حل نهایی محدودیت‌ها را نقض می‌کند، ConstraintTolerance ممکن است خیلی بزرگ باشد یا مسئله ذاتاً غیرقابل حل باشد (infeasible).
• پایداری عددی: مسائل ill-conditioned (با شرایط عددی نامناسب) می‌توانند منجر به نتایج غیردقیق شوند. اسکالینگ، ارائه گرادیان‌ها، و استفاده از الگوریتم‌های قوی‌تر می‌تواند کمک کند.
• exitflag: همیشه exitflag خروجی از حل‌کننده را بررسی کنید. این پرچم نشان‌دهنده دلیل پایان کار حل‌کننده است (مثلاً همگرایی، تجاوز از حداکثر تکرارها، یا عدم وجود راه‌حل).

۶. پردازش نتایج و تحلیل حساسیت

پس از یافتن راه‌حل بهینه، تنها دانستن x و fval کافی نیست. تحلیل حساسیت (Sensitivity Analysis) می‌تواند اطلاعات ارزشمندی ارائه دهد:

• بررسی فعال بودن محدودیت‌ها (Active Constraints): کدام محدودیت‌ها در نقطه بهینه فعال هستند؟ (یعنی به صورت مساوی رعایت می‌شوند). این محدودیت‌ها اغلب گلوگاه‌های مسئله هستند.
• ضریب لاگرانژ (Lagrange Multipliers): برای هر محدودیت، ضریب لاگرانژ نشان می‌دهد که اگر آن محدودیت کمی شل شود، تابع هدف چقدر تغییر خواهد کرد. این اطلاعات برای تصمیم‌گیری در مورد تغییرات سیستم بسیار مفید است.

این نکات پیشرفته به شما این امکان را می‌دهند که نه تنها مسائل بهینه‌سازی را حل کنید، بلکه راه‌حل‌های قوی‌تر، دقیق‌تر و کارآمدتری بیابید و بینش‌های عمیق‌تری از سیستم خود بدست آورید.

کاربردهای عملی تولباکس Optimization در صنایع مختلف

قدرت و انعطاف‌پذیری تولباکس Optimization متلب، آن را به ابزاری بی‌نظیر برای حل مسائل دنیای واقعی در طیف وسیعی از صنایع و حوزه‌های علمی تبدیل کرده است. در این بخش، به برخی از مهم‌ترین کاربردهای عملی این تولباکس می‌پردازیم و مثال‌های کوتاهی از نحوه استفاده از آن در زمینه‌های مختلف ارائه می‌دهیم.

۱. مهندسی

بهینه‌سازی در مهندسی برای طراحی، تحلیل و کنترل سیستم‌ها و محصولات با هدف افزایش عملکرد، کاهش هزینه، بهبود کارایی یا افزایش ایمنی به کار می‌رود.

• طراحی بهینه سازه: مهندسان سازه از بهینه‌سازی برای طراحی سازه‌هایی با حداقل وزن و مصرف مواد استفاده می‌کنند، در حالی که مقاومت کافی در برابر بارها و شرایط محیطی (باد، زلزله) را حفظ کنند.
  * مثال: طراحی یک خرپا (truss) برای حداقل وزن، با محدودیت بر روی تنش در اعضا و جابجایی نقاط اتصال. متغیرها می‌توانند ابعاد اعضا باشند و fmincon برای حل آن مناسب است.
• کنترل سیستم‌ها: طراحی کنترل‌کننده‌های بهینه برای ربات‌ها، هواپیماها یا فرآیندهای صنعتی با هدف دستیابی به عملکرد مطلوب (مثلاً سرعت پاسخ‌گویی، پایداری، دقت ردیابی) و حداقل کردن مصرف انرژی.
  * مثال: بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده PID برای یک سیستم مکانیکی. تابع هدف می‌تواند شامل یک تابع هزینه بر اساس خطای ردیابی و مصرف انرژی باشد. fmincon یا lsqnonlin (اگر مسئله به فرم کمترین مربعات باشد) کاربرد دارند.
• طراحی قطعات مکانیکی: بهینه‌سازی شکل قطعات برای مقاومت بیشتر، وزن کمتر، یا عملکرد آکوستیکی بهتر. این اغلب شامل بهینه‌سازی توپولوژی (Topology Optimization) می‌شود.
  * مثال: بهینه‌سازی شکل یک پره توربین برای حداکثر کارایی آیرودینامیکی. این مسائل معمولاً پیچیده هستند و نیاز به اتصال به ابزارهای تحلیل المان محدود (FEM) دارند.
• مهندسی برق و الکترونیک: طراحی بهینه مدارهای الکتریکی، آنتن‌ها یا شبکه‌های توزیع برق.
  * مثال: بهینه‌سازی ابعاد یک آنتن برای دستیابی به الگوی تابش مطلوب و حداکثر بهره. fmincon یا ga می‌توانند استفاده شوند.

۲. مالی و اقتصاد

در این حوزه‌ها، بهینه‌سازی برای تصمیم‌گیری‌های استراتژیک، تخصیص منابع، مدیریت ریسک و به حداکثر رساندن سود به کار می‌رود.

• بهینه‌سازی سبد سهام: انتخاب بهترین ترکیب دارایی‌ها (سهام، اوراق قرضه) برای حداکثر کردن بازدهی مورد انتظار با حداقل کردن ریسک (واریانس).
  * مثال: همانند مثال quadprog که قبلاً ذکر شد. quadprog به طور گسترده‌ای برای این مسائل استفاده می‌شود.
• برنامه‌ریزی تولید و تخصیص منابع: تعیین میزان تولید هر محصول، زمان‌بندی ماشین‌آلات و تخصیص نیروی کار برای حداکثر کردن سود یا حداقل کردن هزینه.
  * مثال: برنامه‌ریزی تولید محصولات مختلف در یک کارخانه با محدودیت منابع (مواد اولیه، ساعت کار ماشین، نیروی انسانی). این مسائل معمولاً LP یا ترکیبی از LP و IP (Integer Programming - که نیاز به تولباکس جداگانه دارد) هستند. linprog کاربرد دارد.
• مدیریت ریسک: توسعه مدل‌هایی برای کاهش مواجهه با ریسک‌های مالی از طریق بهینه‌سازی استراتژی‌های پوشش ریسک (hedging).

۳. علوم طبیعی و زیستی

بهینه‌سازی در علوم برای مدل‌سازی پدیده‌ها، تحلیل داده‌ها، و طراحی آزمایش‌ها ضروری است.

• فیتینگ منحنی و تخمین پارامتر: یافتن پارامترهای مدل ریاضی که بهترین تطابق را با داده‌های تجربی داشته باشد. این معمولاً شامل حداقل کردن خطای مربعات بین پیش‌بینی‌های مدل و داده‌های واقعی است.
  * مثال: تخمین پارامترهای یک مدل رشد جمعیت با استفاده از داده‌های مشاهده شده. lsqnonlin برای این نوع مسائل بسیار مناسب است.
• طراحی آزمایش: تعیین بهترین تنظیمات برای یک آزمایش علمی به منظور به دست آوردن حداکثر اطلاعات با حداقل تعداد آزمایش.
• بیوانفورماتیک و ژنومیک: یافتن توالی‌های بهینه DNA یا پروتئین‌ها، یا مدل‌سازی شبکه‌های بیولوژیکی.

۴. عملیات و لجستیک

این حوزه شامل بهینه‌سازی فرآیندها، مسیرها و زمان‌بندی‌ها برای بهبود کارایی و کاهش هزینه‌ها است.

• بهینه‌سازی مسیر (Routing Optimization): یافتن کارآمدترین مسیرها برای وسایل نقلیه تحویل‌دهنده کالا (مسئله فروشنده دوره‌گرد - TSP) یا شبکه‌های ارتباطی.
  * مثال: پیدا کردن کوتاه‌ترین مسیر برای یک ناوگان تحویل. این مسائل می‌توانند گسسته (discrete) باشند و اغلب با ga یا intlinprog (تولباکس Optimization) یا حتی حل‌کننده‌های سفارشی حل می‌شوند.
• زمان‌بندی (Scheduling): بهینه‌سازی زمان‌بندی وظایف، پروژه‌ها یا کارکنان برای حداکثر کارایی و حداقل تأخیر.
  * مثال: زمان‌بندی وظایف تولید در یک خط مونتاژ برای کاهش زمان توقف.

این تنها بخش کوچکی از کاربردهای گسترده تولباکس Optimization متلب است. توانایی این تولباکس در مدل‌سازی و حل مسائل پیچیده با توابع هدف و محدودیت‌های گوناگون، آن را به یک ابزار ضروری برای هر کسی که با چالش‌های بهینه‌سازی درگیر است، تبدیل کرده است. با درک عمیق مفاهیم و تسلط بر توابع این تولباکس، می‌توانید راه‌حل‌های نوآورانه و کارآمدی برای مسائل مختلف در حوزه تخصصی خود بیابید.